Résondre le systeime suivant des congruence : $$ \left\{\begin{array}{l}x \equiv 3[17] \ x \equiv 4[11] \ x \equiv 5[6]\end{array} ight. $$

Question

Résondre le systeime suivant des congruence : $$ \left\{\begin{array}{l}x \equiv 3[17] \ x \equiv 4[11] \ x \equiv 5[6]\end{array}ight. $$

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Pour résoudre le système de congruences suivant :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
x \equiv 3 \mod 17 \
x \equiv 4 \mod 11 \
x \equiv 5 \mod 6
\end{array}
\right.
$$

nous allons utiliser la méthode de substitution et le théorème chinois des restes.

1. **Résoudre les deux premières congruences :**

Commençons par les deux premières congruences :

$$
   x \equiv 3 \mod 17
   $$
   $$
   x \equiv 4 \mod 11
   $$

Posons $$ x = 17k + 3 $$ pour un certain entier $$ k $$. En substituant dans la deuxième congruence, nous avons :

$$
   17k + 3 \equiv 4 \mod 11
   $$

Simplifions cela :

$$
   17k \equiv 4 - 3 \mod 11
   $$
   $$
   17k \equiv 1 \mod 11
   $$

Comme $$ 17 \equiv 6 \mod 11 $$, nous avons :

$$
   6k \equiv 1 \mod 11
   $$

Pour résoudre cette congruence, nous devons trouver l'inverse de 6 modulo 11. En utilisant l'algorithme d'Euclide étendu, nous trouvons que l'inverse de 6 modulo 11 est 2, car :

$$
   6 \cdot 2 = 12 \equiv 1 \mod 11
   $$

Donc, nous avons :

$$
   k \equiv 2 \mod 11
   $$

Posons $$ k = 11m + 2 $$ pour un certain entier $$ m $$. En substituant cela dans l'expression de $$ x $$ :

$$
   x = 17(11m + 2) + 3 = 187m + 34 + 3 = 187m + 37
   $$

Ainsi, nous avons :

$$
   x \equiv 37 \mod 187
   $$

2. **Résoudre avec la troisième congruence :**

Maintenant, nous avons :

$$
   x \equiv 37 \mod 187
   $$
   $$
   x \equiv 5 \mod 6
   $$

Posons $$ x = 187n + 37 $$ pour un certain entier $$ n $$. En substituant dans la troisième congruence, nous avons :

$$
   187n + 37 \equiv 5 \mod 6
   $$

Calculons $$ 187 \mod 6 $$ :

$$
   187 \div 6 = 31 \quad \text{(reste 1)}, \quad donc \quad 187 \equiv 1 \mod 6
   $$

Ainsi, nous avons :

$$
   1n + 37 \equiv 5 \mod 6
   $$
   $$
   n + 37 \equiv 5 \mod 6
   $$

Calculons $$ 37 \mod 6 $$ :

$$
   37 \div 6 = 6 \quad \text{(reste 1)}, \quad donc \quad 37 \equiv 1 \mod 6
   $$

Donc, nous avons :

$$
   n + 1 \equiv 5 \mod 6
   $$
   $$
   n \equiv 4 \mod 6
   $$

Posons $$ n = 6p + 4 $$ pour un certain entier $$ p $$. En substituant cela dans l'expression de $$ x $$ :

$$
   x = 187(6p + 4) + 37 = 1122p + 748 + 37 = 1122p + 785
   $$

Ainsi, nous avons :

$$
   x \equiv 785 \mod 1122
   $$

3. **Conclusion :**

La solution générale du système de congruences est :

$$
x \equiv 785 \mod 1122
$$

Cela signifie que toutes les solutions de ce système peuvent être exprimées sous la forme :

$$
x = 1122k + 785 \quad \text{pour tout entier } k.
$$
La solution du système de congruences est $$ x \equiv 785 \mod 1122 $$.

Résondre le systeime suivant
des congruence :

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