(3) Si \( A(x)=\operatorname{sen} 2 x \) y \( B(x)=\cos 2 x \) Pruebe que \( \frac{A(x)}{B(x)+1}=\tan x \) es uno identiched par todos hos nelue aduusebles de la nevable.

Para demostrar que la expresión \(\frac{A(x)}{B(x) + 1} = \tan x\) es una identidad válida para todos los valores de \(x\) en el dominio, consideremos las funciones dadas: \[ A(x) = \sin 2x \quad \text{y} \quad B(x) = \cos 2x \] Sustituyendo \(A(x)\) y \(B(x)\) en la expresión original: \[ \frac{A(x)}{B(x) + 1} = \frac{\sin 2x}{\cos 2x + 1} \] Ahora, utilizaremos identidades trigonométricas conocidas para simplificar la expresión: 1. **Identidad para \(\sin 2x\):** \[ \sin 2x = 2 \sin x \cos x \] 2. **Identidad para \(\cos 2x\):** \[ \cos 2x = 2 \cos^2 x - 1 \] Por lo tanto: \[ \cos 2x + 1 = 2 \cos^2 x \] Sustituyendo estas identidades en la expresión original: \[ \frac{\sin 2x}{\cos 2x + 1} = \frac{2 \sin x \cos x}{2 \cos^2 x} \] Simplificamos cancelando el factor común \(2 \cos x\) en el numerador y el denominador: \[ \frac{2 \sin x \cos x}{2 \cos^2 x} = \frac{\sin x}{\cos x} \] Sabemos que \(\frac{\sin x}{\cos x}\) es igual a \(\tan x\): \[ \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x \] Por lo tanto, hemos demostrado que: \[ \frac{\sin 2x}{\cos 2x + 1} = \tan x \] Esta identidad es válida para todos los valores de \(x\) donde \(\cos x \neq 0\), es decir, donde \(\tan x\) está definida.