Graficar las Parábolas a) $$ y^{2}=-3 x $$ b) $$ x^{2}=8 y $$ c) $$ v=(-2,3) $$ P $$ (-2,4) $$

Question

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Para graficar las parábolas dadas, primero analizaremos cada una de ellas.

### a) $$ y^{2} = -3x $$

Esta ecuación representa una parábola que se abre hacia la izquierda. La forma estándar de la parábola es $$ y^2 = 4px $$, donde $$ p $$ es la distancia del vértice al foco. En este caso, $$ 4p = -3 $$, por lo que $$ p = -\frac{3}{4} $$.

- **Vértice**: El vértice de esta parábola está en el origen $$ (0, 0) $$.
- **Foco**: El foco se encuentra a una distancia de $$ p $$ a la izquierda del vértice, es decir, en $$ \left(-\frac{3}{4}, 0\right) $$.
- **Directriz**: La directriz es una línea vertical a la derecha del vértice, en $$ x = \frac{3}{4} $$.

### b) $$ x^{2} = 8y $$

Esta ecuación representa una parábola que se abre hacia arriba. La forma estándar es $$ x^2 = 4py $$, donde $$ p $$ es la distancia del vértice al foco. Aquí, $$ 4p = 8 $$, por lo que $$ p = 2 $$.

- **Vértice**: El vértice de esta parábola también está en el origen $$ (0, 0) $$.
- **Foco**: El foco se encuentra a una distancia de $$ p $$ hacia arriba del vértice, es decir, en $$ (0, 2) $$.
- **Directriz**: La directriz es una línea horizontal por debajo del vértice, en $$ y = -2 $$.

### c) Vértices $$ v=(-2,3) $$ y $$ P=(-2,4) $$

Dado que los puntos tienen la misma coordenada $$ x $$, esto indica que la parábola es vertical. El vértice $$ v $$ es $$ (-2, 3) $$ y el punto $$ P $$ es $$ (-2, 4) $$, que está por encima del vértice.

- **Vértice**: $$ (-2, 3) $$
- **Foco**: El foco se encuentra a una distancia $$ p $$ hacia arriba del vértice. La distancia entre el vértice y el punto $$ P $$ es 1, por lo que $$ p = 1 $$. Así que el foco está en $$ (-2, 4) $$.
- **Directriz**: La directriz es una línea horizontal por debajo del vértice, en $$ y = 2 $$.

### Graficación

Para graficar estas parábolas, puedes seguir estos pasos:

1. **Para $$ y^{2} = -3x $$**:
   - Dibuja el eje $$ x $$ y el eje $$ y $$.
   - Marca el vértice en $$ (0, 0) $$.
   - Dibuja el foco en $$ \left(-\frac{3}{4}, 0\right) $$ y la directriz en $$ x = \frac{3}{4} $$.
   - Dibuja la parábola que se abre hacia la izquierda.

2. **Para $$ x^{2} = 8y $$**:
   - Marca el vértice en $$ (0, 0) $$.
   - Dibuja el foco en $$ (0, 2) $$ y la directriz en $$ y = -2 $$.
   - Dibuja la parábola que se abre hacia arriba.

3. **Para los puntos $$ v=(-2,3) $$ y $$ P=(-2,4) $$**:
   - Marca el vértice en $$ (-2, 3) $$.
   - Dibuja el foco en $$ (-2, 4) $$ y la directriz en $$ y = 2 $$.
   - Dibuja la parábola que se abre hacia arriba.

Si necesitas una representación gráfica específica, puedes utilizar software de graficación como Desmos, GeoGebra o cualquier otro programa de gráficos.
Para graficar las parábolas: 1. $$ y^{2} = -3x $$: Abre hacia la izquierda, vértice en (0,0), foco en $$(-3/4, 0)$$, directriz en $$x = 3/4$$. 2. $$ x^{2} = 8y $$: Abre hacia arriba, vértice en (0,0), foco en (0,2), directriz en $$y = -2$$. 3. Puntos (-2,3) y (-2,4): Vértice en (-2,3), foco en (-2,4), directriz en $$y = 2$$.

Graficar las Parábolas a) \( y^{2}=-3 x \) b) \( x^{2}=8 y \) c) \( v=(-2,3) \) P \( (-2,4) \)

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