In un triangolo rettangolo \( A B C \) retto in C , ia somma dei cateti misura 42 cm e uno di essi e \( 3 / 4 \) dell altro. Con centro nel vertice \( C \) si vaccia un arco di circonferenza avente il rag- gio uguale a \( 2 / 5 \) dellipotenusa del triangolo. Calcola il contorno e l'area della parte colora-

Per risolvere il problema, seguiamo i passaggi step-by-step: ### 1. Determinazione delle misure dei lati del triangolo rettangolo Sia \( a \) e \( b \) i cateti del triangolo rettangolo \( ABC \) retto in \( C \). Dato che: - La somma dei cateti è \( a + b = 42 \) cm. - Uno dei cateti è \( \frac{3}{4} \) dell'altro. Assumiamo che \( a = \frac{3}{4}b \). Sostituendo nella prima equazione: \[ \frac{3}{4}b + b = 42 \quad \Rightarrow \quad \frac{7}{4}b = 42 \quad \Rightarrow \quad b = 24 \text{ cm} \] \[ a = \frac{3}{4} \times 24 = 18 \text{ cm} \] ### 2. Calcolo dell'ipotenusa \( c \) del triangolo Utilizziamo il teorema di Pitagora: \[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{18^2 + 24^2} = \sqrt{324 + 576} = \sqrt{900} = 30 \text{ cm} \] ### 3. Determinazione del raggio dell'arco Il raggio dell'arco è \( \frac{2}{5} \) dell'ipotenusa: \[ r = \frac{2}{5} \times 30 = 12 \text{ cm} \] ### 4. Analisi della "parte colorata" L'arco di circonferenza con raggio \( r = 12 \) cm è tracciato con centro nel vertice \( C \). Questo arco forma un settore circolare di \( 90^\circ \) all'interno del triangolo rettangolo. ### 5. Calcolo del contorno (perimetro) della parte colorata Il contorno della parte colorata è formato da: - Due raggi dell'arco: \( 12 + 12 = 24 \) cm. - L'arco stesso, che corrisponde a un quarto di circonferenza: \[ L = \frac{1}{4} \times 2\pi r = \frac{1}{4} \times 2\pi \times 12 = 6\pi \text{ cm} \] Quindi, il contorno totale è: \[ 24 + 6\pi \text{ cm} \] ### 6. Calcolo dell'area della parte colorata L'area della parte colorata è l'area del settore circolare: \[ A = \frac{1}{4} \pi r^2 = \frac{1}{4} \pi \times 12^2 = 36\pi \text{ cm}^2 \] ### **Risultato Finale** - **Contorno della parte colorata:** \( 24 + 6\pi \) cm - **Area della parte colorata:** \( 36\pi \) cm²