El volumen del solido de revolución generado por el giro de la región limitada por \( y=x^{2}+5 y y=x+5 \) alrededor del eje \( X \) es:

Para determinar el volumen del sólido de revolución generado al girar la región limitada por las curvas \( y = x^2 + 5 \) y \( y = x + 5 \) alrededor del eje \( X \), seguiremos estos pasos: ### 1. **Encontrar los puntos de intersección:** Igualamos las dos funciones para hallar los límites de integración: \[ x^2 + 5 = x + 5 \\ x^2 = x \\ x(x - 1) = 0 \\ \Rightarrow x = 0 \quad \text{y} \quad x = 1 \] ### 2. **Determinar la función exterior e interior:** Para \( x \) en el intervalo \([0, 1]\): - \( y = x + 5 \) es mayor que \( y = x^2 + 5 \) (por ejemplo, en \( x = 0.5 \), \( 5.5 > 5.25 \)). Por lo tanto: - **Radio exterior** \( R(x) = x + 5 \) - **Radio interior** \( r(x) = x^2 + 5 \) ### 3. **Aplicar el método de los discos/aros (método de los discos):** El volumen \( V \) se calcula mediante la integral: \[ V = \pi \int_{0}^{1} \left[ R(x)^2 - r(x)^2 \right] dx \] Sustituyendo \( R(x) \) y \( r(x) \): \[ V = \pi \int_{0}^{1} \left[ (x + 5)^2 - (x^2 + 5)^2 \right] dx \] ### 4. **Expandir y simplificar la expresión:** \[ (x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25 \\ (x^2 + 5)^2 = x^4 + 10x^2 + 25 \\ \Rightarrow (x + 5)^2 - (x^2 + 5)^2 = -x^4 - 9x^2 + 10x \] ### 5. **Integrar término por término:** \[ V = \pi \int_{0}^{1} \left( -x^4 - 9x^2 + 10x \right) dx \\ = \pi \left[ -\frac{x^5}{5} - 3x^3 + 5x^2 \right]_{0}^{1} \] Evaluando en los límites: \[ V = \pi \left( -\frac{1}{5} - 3(1) + 5(1) \right) = \pi \left( -\frac{1}{5} + 2 \right) = \pi \left( \frac{9}{5} \right) = \frac{9\pi}{5} \] ### **Conclusión:** El volumen del sólido de revolución es: \[ V = \frac{9\pi}{5} \, \text{unidades cúbicas} \]