7. $$ h(x)=\int x e^{x^{2}+4} d x $$

Question

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Para resolver la integral:

$$
h(x) = \int x e^{x^{2} + 4} \, dx
$$

utilizaremos el método de **sustitución**. A continuación, se muestran los pasos detallados:

### Paso 1: Elegir la Sustitución Adecuada
Observamos que el exponente $$ x^{2} + 4 $$ tiene una derivada que aparece multiplicada por $$ x $$ en el integrando. Por lo tanto, hacemos la siguiente sustitución:

$$
u = x^{2} + 4
$$

### Paso 2: Calcular el Diferencial $$ du $$
Derivamos ambos lados de la sustitución respecto a $$ x $$:

$$
\frac{du}{dx} = 2x \quad \Rightarrow \quad du = 2x \, dx \quad \Rightarrow \quad x \, dx = \frac{1}{2} \, du
$$

### Paso 3: Reescribir la Integral en Términos de $$ u $$
Sustituyendo $$ u $$ y $$ du $$ en la integral original:

$$
h(x) = \int x e^{x^{2} + 4} \, dx = \int e^{u} \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int e^{u} \, du
$$

### Paso 4: Integrar en Términos de $$ u $$
La integral de $$ e^{u} $$ respecto a $$ u $$ es simplemente $$ e^{u} $$. Así que:

$$
\frac{1}{2} \int e^{u} \, du = \frac{1}{2} e^{u} + C
$$

donde $$ C $$ es la constante de integración.

### Paso 5: Deshacer la Sustitución
Finalmente, reemplazamos $$ u $$ por su expresión en términos de $$ x $$:

$$
h(x) = \frac{1}{2} e^{x^{2} + 4} + C
$$

### Resultado Final
$$
h(x) = \frac{1}{2} e^{x^{2} + 4} + C
$$

donde $$ C $$ es la constante de integración.
La integral $$ h(x) = \int x e^{x^{2} + 4} \, dx $$ se resuelve utilizando sustitución. Sustituyendo $$ u = x^{2} + 4 $$, se obtiene $$ h(x) = \frac{1}{2} e^{x^{2} + 4} + C $$, donde $$ C $$ es la constante de integración.

7. \( h(x)=\int x e^{x^{2}+4} d x \)

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