Gegeben ist das lineare Gleichungssystem \[ \left\{\begin{array}{c} -2 \cdot x_{1}-2 \cdot x_{2}+2 \cdot x_{3}=5 \\ -2 \cdot x_{1}-7 \cdot x_{2}+7 \cdot x_{3}=7 \\ 4 \cdot x_{1}+9 \cdot x_{2}-9 \cdot x_{3}=a \end{array}\right. \] mit der Konstante \( a \in \mathbb{R} \). Mit welchem Wert des Parameters \( a \in \mathbb{R} \) besitzt das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen? \[ a=-12 \] Ihre letzte Antwort wurde folgendermaßen interpretiert: \( -12 \) Die Antwort ist nicht richtig. Geben Sie die Lösung an. Hinweis: Geben Sie die Lösung in der Form eines transponierten Vektors: \( \vec{x}^{T}=\left[x_{1}, x_{2}, x_{3}\right] \) ein. \[ \vec{x}^{T}=\left[-(21 / 10),-(2 / 5)^{*} \mathrm{t}, \mathrm{t}\right] \] Ihre letzte Antwort wurde folgendermaßen interpretiert: \[ \left[-\frac{21}{10},\left(-\frac{2}{5}\right) \cdot t, t\right] \] In Ihrer Antwort wurden die folgenden Variablen gefunden: \( [t] \) Die Antwort ist nicht richtig.

Entschuldigung für die vorherigen Missverständnisse. Lassen Sie uns das Gleichungssystem sorgfältig analysieren und die korrekte Lösung finden. Gegeben ist das Gleichungssystem: \[ \left\{\begin{array}{c} -2x_{1} - 2x_{2} + 2x_{3} = 5 \\ -2x_{1} - 7x_{2} + 7x_{3} = 7 \\ 4x_{1} + 9x_{2} - 9x_{3} = a \end{array}\right. \] **Schritt 1: Eliminierung von \( x_{1} \)** Subtrahieren wir die erste Gleichung von der zweiten: \[ (-2x_{1} - 7x_{2} + 7x_{3}) - (-2x_{1} - 2x_{2} + 2x_{3}) = 7 - 5 \] \[ -5x_{2} + 5x_{3} = 2 \quad \text{(Gleichung 2')} \] Addieren wir das Doppelte der ersten Gleichung zur dritten: \[ 2(-2x_{1} - 2x_{2} + 2x_{3}) + (4x_{1} + 9x_{2} - 9x_{3}) = 2 \cdot 5 + a \] \[ -4x_{1} - 4x_{2} + 4x_{3} + 4x_{1} + 9x_{2} - 9x_{3} = 10 + a \] \[ 5x_{2} - 5x_{3} = 10 + a \quad \text{(Gleichung 3')} \] **Schritt 2: Konsistenzbedingung** Addieren wir Gleichung 2' und 3': \[ -5x_{2} + 5x_{3} + 5x_{2} - 5x_{3} = 2 + 10 + a \] \[ 0 = 12 + a \] \[ a = -12 \] Damit das System konsistent ist und unendlich viele Lösungen besitzt, muss \( a = -12 \) sein. **Schritt 3: Parametrisierung der Lösungen** Setzen wir \( a = -12 \) in Gleichung 3' ein: \[ 5x_{2} - 5x_{3} = 10 - 12 \] \[ 5x_{2} - 5x_{3} = -2 \] \[ x_{2} - x_{3} = -\frac{2}{5} \] \[ x_{2} = x_{3} - \frac{2}{5} \] Setzen wir \( x_{3} = t \) (freie Variable), dann: \[ x_{2} = t - \frac{2}{5} \] Nun setzen wir \( x_{2} \) und \( x_{3} \) in die erste Gleichung ein, um \( x_{1} \) zu bestimmen: \[ -2x_{1} - 2\left(t - \frac{2}{5}\right) + 2t = 5 \] \[ -2x_{1} - 2t + \frac{4}{5} + 2t = 5 \] \[ -2x_{1} + \frac{4}{5} = 5 \] \[ -2x_{1} = \frac{21}{5} \] \[ x_{1} = -\frac{21}{10} \] **Endgültige Lösung:** Die Lösungen des Gleichungssystems für \( a = -12 \) lassen sich parametrisieren durch die freie Variable \( t \). Die Lösung lässt sich in der geforderten Form als transponierter Vektor darstellen: \[ \vec{x}^{T} = \left[ -\frac{21}{10},\; -\frac{2}{5} + t,\; t \right] \] Dabei ist \( t \in \mathbb{R} \) eine beliebige reelle Zahl.