2) Sea la transformación lineal \( T: \mathbb{V} \rightarrow \mathbb{R}^{3} / M_{B B^{\prime}}(T)=\left(\begin{array}{rrr}0 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & -4\end{array}\right) \) con \( B=\{u, v, w\} \subset V \) una base de \( \mathbb{V} \) y \( B^{\prime}=\{(1,1,-1),(2,-1,0),(1,0,0)\} \) base de \( \mathbb{R}^{3} \) 2.1) Calcule \( T(u-v) \). 2.2) Encuentre una expresión analítica de la imagen de \( T \).

Para resolver el problema, utilizaremos la matriz de la transformación lineal \( T \) en la base \( B \) y la entrada correspondiente en la base \( B' \). Dado que se tiene la matriz \( M_{B B^{\prime}}(T)=\left(\begin{array}{rrr}0 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & -4\end{array}\right) \), podemos calcular \( T(u-v) \). Primero, representemos \( u-v \) como un vector en \( \mathbb{V} \). Asumiendo que en la base \( B \), \( u, v, w \) se corresponden con los vectores \( e_1, e_2, e_3 \) de \( \mathbb{R}^3 \), tenemos que: \[ [u-v]_{B} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \] Ahora, aplicamos la matriz de transformación \( M_{B B^{\prime}}(T) \) sobre este vector: \[ T(u-v) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot 1 + 0 \cdot (-1) + 0 \cdot 0 \\ -1 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) + 0 \cdot 0 \\ 1 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) + (-4) \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 - 2 \\ 1 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix} \] 2.1) Por lo tanto, \( T(u-v) = \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix} \). Para la parte 2.2, necesitamos encontrar una expresión analítica de la imagen de \( T \). Donde podemos expresar cualquier vector \( x \in \mathbb{V} \) como una combinación de la base \( B \): \[ x = a u + b v + c w \] La aplicación de \( T \) en la forma correspondiente es: \[ T(x) = T(a u + b v + c w) = a T(u) + b T(v) + c T(w) \] Utilizando la matriz de transformación, podemos expresar \( T(u), T(v), T(w) \) substituyendo \( e_1, e_2, e_3 \): \[ T(x) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot a + 0 \cdot b + 0 \cdot c \\ -1 \cdot a + 2 \cdot b + 0 \cdot c \\ 1 \cdot a + 2 \cdot b - 4c \end{pmatrix} \] Esto se simplifica a: \[ T(x) = \begin{pmatrix} 0 \\ - a + 2b \\ a + 2b - 4c \end{pmatrix} \] Por lo tanto, la expresión analítica de la imagen de \( T \) está dada por: \[ T(x) = \begin{pmatrix} 0 \\ -a + 2b \\ a + 2b - 4c \end{pmatrix}, \quad \text{donde } x = a u + b v + c w. \]