Exercice 5 ( 4 points)
Soit f la fonction définie et dérivables sur de courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormé : unité 2 cm

Calcule la limite de en 0 .

Calcule la limite de et de en . Interprète graphiquement les résultats obtenus.

Justifie que

Donne le sens de variation de f puis dresse le tableau de variation

Justific que ,

Construis la courbe ©

Exercice 6 ( 5 points)
Un pâtissier commercialise des glaces d’un même type très prisées par les consommateurs. Il peut en produire entre 0 et 300 par jour dans sa petite entreprise familiale. Cette production est vendue dans sa totalité.
Lorsque x représente le nombre (en centaines) de glaces produites, on note , le bénéfice réalisé par le pâtissier pour la vente de x centaines de glaces.
D’après les données précédentes, l’artisan sait que :
Pour tout x de l’intervalle , on , où est exprimé en milliers de francs et la fonction dérivée de B .
Pour une centaine de glaces venducs, son bénéfice est de 25 mille francs.
Il te sollicite pour l’aider à déterminer son bénéfice maximal.

Ask by Valdez Martin. in Côte d'Ivoire

Jan 07,2025

Question

Exercice 5 ( 4 points)
Soit f la fonction définie et dérivables sur de courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormé : unité 2 cm

Calcule la limite de en 0 .

Calcule la limite de et de en . Interprète graphiquement les résultats obtenus.

Justifie que

Donne le sens de variation de f puis dresse le tableau de variation

Justific que ,

Construis la courbe ©

Exercice 6 ( 5 points)
Un pâtissier commercialise des glaces d’un même type très prisées par les consommateurs. Il peut en produire entre 0 et 300 par jour dans sa petite entreprise familiale. Cette production est vendue dans sa totalité.
Lorsque x représente le nombre (en centaines) de glaces produites, on note , le bénéfice réalisé par le pâtissier pour la vente de x centaines de glaces.
D’après les données précédentes, l’artisan sait que :
Pour tout x de l’intervalle , on , où est exprimé en milliers de francs et la fonction dérivée de B .
Pour une centaine de glaces venducs, son bénéfice est de 25 mille francs.
Il te sollicite pour l’aider à déterminer son bénéfice maximal.

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Jan 07,2025

UpStudy AI · Accepted Answer

Pour résoudre les exercices donnés, nous allons procéder étape par étape. ### Exercice 5 1) **Calcul de la limite de $$ f $$ en 0 :** La fonction est définie par $$ f(x) = x \ln x - x + 1 $$. Pour calculer la limite de $$ f $$ lorsque $$ x $$ tend vers 0, nous devons examiner le terme $$ x \ln x $$. Nous savons que $$ \lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0 $$. Donc, nous avons : $$ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x \ln x - x + 1) = 0 - 0 + 1 = 1 $$ 2) **Calcul de la limite de $$ f $$ et de $$ \frac{f(x)}{x} $$ en $$ +\infty $$ :** Pour $$ f(x) $$ : $$ \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} (x \ln x - x + 1) = +\infty $$ Pour $$ \frac{f(x)}{x} $$ : $$ \frac{f(x)}{x} = \ln x - 1 + \frac{1}{x} $$ En prenant la limite : $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} (\ln x - 1 + \frac{1}{x}) = +\infty $$ **Interprétation graphique :** La fonction $$ f(x) $$ croît sans borne lorsque $$ x $$ augmente, et $$ \frac{f(x)}{x} $$ tend également vers l'infini. 3) **Justification que $$ f'(x) = \ln x $$ :** Calculons la dérivée de $$ f(x) $$ : $$ f'(x) = \frac{d}{dx}(x \ln x - x + 1) = \ln x + 1 - 1 = \ln x $$ Donc, $$ \forall x \in ]0; +\infty[, f'(x) = \ln x $$. 4) **Sens de variation de $$ f $$ et tableau de variation :** - $$ f'(x) = \ln x $$ est positif pour $$ x > 1 $$ et négatif pour $$ 0 < x < 1 $$. - $$ f $$ est décroissante sur $$ ]0, 1[ $$ et croissante sur $$ ]1, +\infty[ $$. **Tableau de variation :** $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & +\infty \ \hline f'(x) & - & 0 & + \ \hline f(x) & 1 & \text{min} & +\infty \ \hline \end{array} $$ 5) **Justification que $$ f(x) \geq 0 $$ :** Nous savons que $$ f(1) = 1 $$ et que $$ f $$ est décroissante sur $$ ]0, 1[ $$ et croissante sur $$ ]1, +\infty[ $$. Ainsi, pour $$ 0 < x < 1 $$, $$ f(x) $$ est toujours supérieur ou égal à 0. 6) **Construction de la courbe (C) :** Pour construire la courbe, il faut tracer les points clés que nous avons trouvés, notamment le minimum en $$ x = 1 $$ et le comportement aux limites. ### Exercice 6 Pour déterminer le bénéfice maximal, nous allons utiliser la dérivée donnée. 1) **Calcul de $$ B'(x) $$ :** Nous avons : $$ B'(x) = -20x + 30 $$ 2) **Trouver les points critiques :** Pour trouver les points critiques, nous résolvons $$ B'(x) = 0 $$: $$ -20x + 30 = 0 \implies x = \frac{30}{20} = 1.5 $$ 3) **Analyse du signe de $$ B'(x) $$ :** - Pour $$ x < 1.5 $$, $$ B'(x) > 0 $$ (croissant). - Pour $$ x > 1.5 $$, $$ B'(x) < 0 $$ (décroissant). 4) **Bénéfice maximal :** Le bénéfice maximal se trouve donc à $$ x = 1.5 $$. 5) **Calcul de $$ B(1.5) $$ :** Pour calculer $$ B(1.5) $$, nous devons intégrer $$ B'(x) $$ et utiliser la condition initiale $$ B(1) = 25 $$. $$ B(x) = \int (-20x + 30) \, dx = -10x^2 + 30x + C $$ En utilisant $$ B(1) = 25 $$: $$ B(1) = -10(1)^2 + 30(1) + C = 25 \implies C = 5 $$ Donc, $$ B(x) = -10x^2 + 30x + 5 $$ Calculons $$ B(1.5) $$: $$ B(1.5) = -10(1.5)^2 + 30(1.5) + 5 = -10(2.25) + 45 + 5 = -22.5 + 45 + 5 = 27.5 $$ Le bénéfice maximal est donc de 27.5 milliers de francs lorsque 150 glaces sont produites. **Exercice 5** 1. **Limite de $$ f $$ en 0 :** 1 2. **Limite de $$ f $$ et $$ \frac{f(x)}{x} $$ en $$ +\infty $$ :** $$ +\infty $$ 3. **Dérivée de $$ f(x) $$ :** $$ f'(x) = \ln x $$ 4. **Sens de variation :** Décroissante sur $$ ]0, 1[ $$ et croissante sur $$ ]1, +\infty[ $$ 5. **Tableau de variation :** $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & +\infty \ \hline f'(x) & - & 0 & + \ \hline f(x) & 1 & \text{min} & +\infty \ \hline \end{array} $$ 6. **Courbe (C) :** Tracer le minimum en $$ x = 1 $$ et le comportement aux limites. **Exercice 6** - **Bénéfice maximal :** 27.5 milliers de francs lorsque 150 glaces sont produites.

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