\( \underline{\text { EJercicio } 2} \) a) \( [10 \mathrm{p}] \) Determine los escalares \( y_{1}, y_{2}, y_{3} \) tales que el siguiente sistema de ecuaciones lineales resulte compatible: \[ \left\{\begin{array}{c}x_{1}+2 x_{3}=y_{1} \\ x_{2}-2 x_{3}=y_{2} \\ -x_{1}-x_{2}=y_{3}\end{array}\right. \]

Para que el sistema de ecuaciones lineales sea compatible, los escalares \( y_{1}, y_{2}, y_{3} \) deben satisfacer ciertas condiciones que aseguren la existencia de soluciones. Analicemos el sistema dado: \[ \left\{\begin{array}{c} x_{1} + 2x_{3} = y_{1} \\ x_{2} - 2x_{3} = y_{2} \\ - x_{1} - x_{2} = y_{3} \end{array}\right. \] **Paso 1: Representar el sistema en forma matricial** La matriz de coeficientes \( A \) y la matriz aumentada \( [A|y] \) son: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -2 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad [A|y] = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & | & y_{1} \\ 0 & 1 & -2 & | & y_{2} \\ -1 & -1 & 0 & | & y_{3} \end{pmatrix} \] **Paso 2: Determinar el rango de la matriz \( A \)** Calculamos el determinante de \( A \): \[ \det(A) = 1 \cdot (1 \cdot 0 - (-2) \cdot (-1)) - 0 \cdot (0 \cdot 0 - (-2) \cdot (-1)) + 2 \cdot (0 \cdot (-1) - 1 \cdot (-1)) = -2 + 2 = 0 \] Como el determinante es cero, el rango de \( A \) es menor que 3. Observamos que la tercera fila es una combinación lineal de las dos primeras: \[ -1 \cdot (\text{Fila 1}) - 1 \cdot (\text{Fila 2}) = \text{Fila 3} \] Por lo tanto, el rango de \( A \) es 2. **Paso 3: Condición de compatibilidad** Para que el sistema sea compatible, el rango de la matriz aumentada \( [A|y] \) debe ser igual al rango de \( A \). Esto implica que los términos constantes deben respetar la misma relación lineal que las filas de \( A \). Es decir: \[ y_{3} = -y_{1} - y_{2} \] **Conclusión:** Los escalares \( y_{1}, y_{2}, y_{3} \) deben cumplir la relación \( y_{3} = -y_{1} - y_{2} \) para que el sistema de ecuaciones sea compatible. **Respuesta Final:** Para que el sistema sea compatible, los escalares deben satisfacer y₃ = –y₁ – y₂.