$$ \underline{\text { EJercicio } 2} $$ a) $$ [10 \mathrm{p}] $$ Determine los escalares $$ y_{1}, y_{2}, y_{3} $$ tales que el siguiente sistema de ecuaciones lineales resulte compatible: $$ \left\{\begin{array}{c}x_{1}+2 x_{3}=y_{1} \ x_{2}-2 x_{3}=y_{2} \ -x_{1}-x_{2}=y_{3}\end{array}\right. $$

Question

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Para que el sistema de ecuaciones lineales sea compatible, los escalares $$ y_{1}, y_{2}, y_{3} $$ deben satisfacer ciertas condiciones que aseguren la existencia de soluciones. Analicemos el sistema dado:

$$
\left\{\begin{array}{c}
x_{1} + 2x_{3} = y_{1} \
x_{2} - 2x_{3} = y_{2} \
- x_{1} - x_{2} = y_{3}
\end{array}\right.
$$

**Paso 1: Representar el sistema en forma matricial**

La matriz de coeficientes $$ A $$ y la matriz aumentada $$ [A|y] $$ son:

$$
A = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 \
0 & 1 & -2 \
-1 & -1 & 0
\end{pmatrix} \quad \text{y} \quad
[A|y] = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & | & y_{1} \
0 & 1 & -2 & | & y_{2} \
-1 & -1 & 0 & | & y_{3}
\end{pmatrix}
$$

**Paso 2: Determinar el rango de la matriz $$ A $$**

Calculamos el determinante de $$ A $$:

$$
\det(A) = 1 \cdot (1 \cdot 0 - (-2) \cdot (-1)) - 0 \cdot (0 \cdot 0 - (-2) \cdot (-1)) + 2 \cdot (0 \cdot (-1) - 1 \cdot (-1)) = -2 + 2 = 0
$$

Como el determinante es cero, el rango de $$ A $$ es menor que 3. Observamos que la tercera fila es una combinación lineal de las dos primeras:

$$
-1 \cdot (\text{Fila 1}) - 1 \cdot (\text{Fila 2}) = \text{Fila 3}
$$

Por lo tanto, el rango de $$ A $$ es 2.

**Paso 3: Condición de compatibilidad**

Para que el sistema sea compatible, el rango de la matriz aumentada $$ [A|y] $$ debe ser igual al rango de $$ A $$. Esto implica que los términos constantes deben respetar la misma relación lineal que las filas de $$ A $$. Es decir:

$$
y_{3} = -y_{1} - y_{2}
$$

**Conclusión:**

Los escalares $$ y_{1}, y_{2}, y_{3} $$ deben cumplir la relación $$ y_{3} = -y_{1} - y_{2} $$ para que el sistema de ecuaciones sea compatible.

**Respuesta Final:**

Para que el sistema sea compatible, los escalares deben satisfacer y₃ = –y₁ – y₂.
Para que el sistema sea compatible, los escalares $$ y_{1}, y_{2}, y_{3} $$ deben cumplir la relación $$ y_{3} = -y_{1} - y_{2} $$.

a) Determine los escalares tales que el siguiente sistema de ecuaciones lineales resulte
compatible:

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a) Determine los escalares tales que el siguiente sistema de ecuaciones lineales resulte compatible: