8. \( g(x)=\left\{\begin{array}{c}3, x \leq 2 \\ \frac{x}{2}+3, x>2\end{array}\right. \)

La función \( g(x) \) está definida de manera **a trozos** de la siguiente manera: \[ g(x) = \begin{cases} 3, & \text{si } x \leq 2 \\ \frac{x}{2} + 3, & \text{si } x > 2 \end{cases} \] ### Análisis de la Función 1. **Dominio**: - La función está definida para todos los valores de \( x \) reales. Por lo tanto, el **dominio** es \( \mathbb{R} \). 2. **Rango**: - Para \( x \leq 2 \), \( g(x) = 3 \). - Para \( x > 2 \), \( g(x) = \frac{x}{2} + 3 \), que es una función lineal con pendiente positiva. - A medida que \( x \) aumenta más allá de 2, \( g(x) \) también incrementa sin límite superior. - Por lo tanto, el **rango** es \( [3, \infty) \). 3. **Puntos Clave**: - **Punto de transición** en \( x = 2 \): \[ g(2) = 3 \] \[ \lim_{x \to 2^+} g(x) = \frac{2}{2} + 3 = 4 \] - Hay una **discontinuidad** en \( x = 2 \) ya que el límite por la derecha no coincide con el valor de la función. 4. **Gráfica de la Función**: - **Para \( x \leq 2 \)**: - Es una línea horizontal en \( y = 3 \). - **Para \( x > 2 \)**: - Es una línea recta con pendiente \( \frac{1}{2} \) y ordenada al origen \( y = 3 \). - **Discontinuidad**: - En \( x = 2 \), la función tiene un salto de 3 a 4.  5. **Interpretación**: - La función \( g(x) \) permanece constante en 3 para todos los valores de \( x \) menores o iguales a 2. - Una vez que \( x \) supera 2, la función comienza a incrementarse linealmente a razón de \( \frac{1}{2} \) por cada unidad que aumenta \( x \). ### Resumen - **Dominio**: \( \mathbb{R} \) - **Rango**: \( [3, \infty) \) - **Tipo de Función**: Función a trozos con una parte constante y una parte lineal. - **Continuidad**: Discontinua en \( x = 2 \). Si tienes alguna pregunta específica sobre esta función o necesitas un análisis más detallado, no dudes en preguntar.