ExERCICE 3 Inéquation Résoudre dans $$ \mathbb{R} $$ les inéquations suivantes : $$ \begin{array}{lll} ext { 1) } x^{2}+3 x-4 \leqslant 0 & ext { 2) } 7 x-3 \leqslant 2 x^{2} & ext { 3) } \frac{5 x^{2}-3 x}{x^{2}+4 x+3} \geqslant 0\end{array} $$

Question

ExERCICE 3 Inéquation Résoudre dans $$ \mathbb{R} $$ les inéquations suivantes : $$ \begin{array}{lll}	ext { 1) } x^{2}+3 x-4 \leqslant 0 & 	ext { 2) } 7 x-3 \leqslant 2 x^{2} & 	ext { 3) } \frac{5 x^{2}-3 x}{x^{2}+4 x+3} \geqslant 0\end{array} $$

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**Exercice 3 : Inéquations** Résolvons chacune des inéquations dans $$ \mathbb{R} $$ : --- ### 1) $$ x^{2} + 3x - 4 \leqslant 0 $$ **Étapes de résolution :** 1. **Étudier le signe du polynôme $$ P(x) = x^{2} + 3x - 4 $$.** 2. **Calculer les racines de $$ P(x) $$ :** $$ x^{2} + 3x - 4 = 0 $$ Utilisons la formule du discriminant : $$ \Delta = b^{2} - 4ac = 9 + 16 = 25 $$ Les racines sont : $$ x_{1} = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 - 5}{2} = -4 $$ $$ x_{2} = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 + 5}{2} = 1 $$ 3. **Étudier le signe de $$ P(x) $$ :** Le polynôme est de degré 2, coefficient dominant positif ($$ a = 1 > 0 $$), donc le tableau de signes est : $$ \begin{array}{c|ccccc} x & -\infty & -4 & & 1 & +\infty \ \hline P(x) & + & 0 & - & 0 & + \ \end{array} $$ 4. **Détermination de l'ensemble des solutions :** On cherche les $$ x $$ tels que $$ P(x) \leq 0 $$, c'est-à-dire où $$ P(x) $$ est négatif ou nul. D'après le tableau : $$ S = [-4, 1] $$ --- ### 2) $$ 7x - 3 \leqslant 2x^{2} $$ **Étapes de résolution :** 1. **Réarranger l'inéquation :** $$ 2x^{2} - 7x + 3 \geqslant 0 $$ 2. **Étudier le signe du polynôme $$ Q(x) = 2x^{2} - 7x + 3 $$.** 3. **Calculer les racines de $$ Q(x) $$ :** $$ 2x^{2} - 7x + 3 = 0 $$ Discriminant : $$ \Delta = (-7)^{2} - 4 \times 2 \times 3 = 49 - 24 = 25 $$ Racines : $$ x_{1} = \frac{7 - \sqrt{25}}{4} = \frac{7 - 5}{4} = \frac{2}{4} = 0.5 $$ $$ x_{2} = \frac{7 + \sqrt{25}}{4} = \frac{7 + 5}{4} = 3 $$ 4. **Étudier le signe de $$ Q(x) $$ :** Coefficient dominant positif ($$ a = 2 > 0 $$), donc le tableau de signes est : $$ \begin{array}{c|ccccc} x & -\infty & 0.5 & & 3 & +\infty \ \hline Q(x) & + & 0 & - & 0 & + \ \end{array} $$ 5. **Détermination de l'ensemble des solutions :** On cherche les $$ x $$ tels que $$ Q(x) \geq 0 $$, c'est-à-dire où $$ Q(x) $$ est positif ou nul. D'après le tableau : $$ S = (-\infty, 0.5] \cup [3, +\infty) $$ --- ### 3) $$ \frac{5x^{2} - 3x}{x^{2} + 4x + 3} \geqslant 0 $$ **Étapes de résolution :** 1. **Étudier le signe du numérateur et du dénominateur séparément.** 2. **Factoriser numérateur et dénominateur :** - **Numérateur $$ N(x) = 5x^{2} - 3x $$ :** $$ N(x) = x(5x - 3) $$ Racines : $$ x = 0 \quad \text{et} \quad x = \frac{3}{5} $$ - **Dénominateur $$ D(x) = x^{2} + 4x + 3 $$ :** $$ D(x) = (x + 1)(x + 3) $$ Racines : $$ x = -1 \quad \text{et} \quad x = -3 $$ 3. **Déterminer les points critiques et les intervalles à étudier :** Les points où $$ N(x) = 0 $$ ou $$ D(x) = 0 $$ sont : $$ x = -3, -1, 0, \frac{3}{5} $$ Ces points divisent la droite réelle en 5 intervalles : $$ (-\infty, -3), \quad (-3, -1), \quad (-1, 0), \quad (0, \frac{3}{5}), \quad \left(\frac{3}{5}, +\infty\right) $$ 4. **Étudier le signe de la fraction dans chaque intervalle :** Choisissons un nombre de test dans chaque intervalle et évaluons le signe de $$ N(x) $$ et $$ D(x) $$ : - **Intervalle $$ (-\infty, -3) $$ :** $$ x = -4 \quad \Rightarrow \quad N(x) = (-4)(5(-4) - 3) = (-4)(-20 - 3) = (-4)(-23) = +92 > 0 $$ $$ D(x) = (-4 +1)(-4 +3) = (-3)(-1) = +3 > 0 $$ Donc, $$ \frac{N}{D} > 0 $$. - **Intervalle $$ (-3, -1) $$ :** $$ x = -2 \quad \Rightarrow \quad N(x) = (-2)(5(-2) - 3) = (-2)(-10 -3) = (-2)(-13) = +26 > 0 $$ $$ D(x) = (-2 +1)(-2 +3) = (-1)(+1) = -1 < 0 $$ Donc, $$ \frac{N}{D} < 0 $$. - **Intervalle $$ (-1, 0) $$ :** $$ x = -0.5 \quad \Rightarrow \quad N(x) = (-0.5)(5(-0.5) - 3) = (-0.5)(-2.5 -3) = (-0.5)(-5.5) = +2.75 > 0 $$ $$ D(x) = (-0.5 +1)(-0.5 +3) = (+0.5)(+2.5) = +1.25 > 0 $$ Donc, $$ \frac{N}{D} > 0 $$. - **Intervalle $$ (0, \frac{3}{5}) $$ :** $$ x = 0.5 \quad \Rightarrow \quad N(x) = (0.5)(5(0.5) -3) = (0.5)(2.5 -3) = (0.5)(-0.5) = -0.25 < 0 $$ $$ D(x) = (0.5 +1)(0.5 +3) = (+1.5)(+3.5) = +5.25 > 0 $$ Donc, $$ \frac{N}{D} < 0 $$. - **Intervalle $$ \left(\frac{3}{5}, +\infty\right) $$ :** $$ x = 1 \quad \Rightarrow \quad N(x) = (1)(5(1) -3) = (1)(5 -3) = +2 > 0 $$ $$ D(x) = (1 +1)(1 +3) = (+2)(+4) = +8 > 0 $$ Donc, $$ \frac{N}{D} > 0 $$. 5. **Analyser les points critiques :** - Aux points où $$ D(x) = 0 $$ (i.e., $$ x = -3 $$ et $$ x = -1 $$), la fraction est indéfinie. Ils ne font donc pas partie de l'ensemble des solutions, mais sont des points de discontinuité. - Aux points où $$ N(x) = 0 $$ (i.e., $$ x = 0 $$ et $$ x = \frac{3}{5} $$), la fraction vaut zéro. Comme l'inéquation est $$ \geqslant 0 $$, ces points sont inclus dans l'ensemble des solutions. 6. **Détermination de l'ensemble des solutions :** D'après l'étude, la fraction est positive ou nulle dans les intervalles : $$ (-\infty, -3) \cup (-1, 0] \cup \left[\frac{3}{5}, +\infty\right) $$ **Attention :** Les points $$ x = -3 $$ et $$ x = -1 $$ sont exclus car la fraction est indéfinie à ces points. **Ensemble des solutions :** $$ S = (-\infty, -3) \cup (-1, 0] \cup \left[\frac{3}{5}, +\infty\right) $$ --- **Réponses Résumées :** 1. $$ x^{2} + 3x - 4 \leqslant 0 $$ : $$ S = [-4, \, 1] $$ 2. $$ 7x - 3 \leqslant 2x^{2} $$ : $$ S = (-\infty, \, 0.5] \cup [3, \, +\infty) $$ 3. $$ \frac{5x^{2} - 3x}{x^{2} + 4x + 3} \geqslant 0 $$ : $$ S = (-\infty, -3) \cup (-1, \, 0] \cup \left[\frac{3}{5}, \, +\infty\right) $$ **Exercice 3 : Inéquations** Résolvons chacune des inéquations dans $$ \mathbb{R} $$ : --- 1. $$ x^{2} + 3x - 4 \leqslant 0 $$ - **Solution :** $$ x \in [-4, \, 1] $$ 2. $$ 7x - 3 \leqslant 2x^{2} $$ - **Solution :** $$ x \in (-\infty, \, 0.5] \cup [3, \, +\infty) $$ 3. $$ \frac{5x^{2} - 3x}{x^{2} + 4x + 3} \geqslant 0 $$ - **Solution :** $$ x \in (-\infty, -3) \cup (-1, \, 0] \cup \left[\frac{3}{5}, \, +\infty\right) $$

ExERCICE 3
Inéquation
Résoudre dans les inéquations suivantes :

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