4. La solución de la integral \( \int \frac{x+1}{x\left(1+x e^{x}\right)^{2}} d x \) es: \( \begin{array}{l}\text { a) } \ln \left|\frac{x e^{x}}{1-x e^{x}}\right|+\frac{1}{x e^{x}+1}+C \\ \text { b) } \ln \left|\frac{x e^{x}}{1+x e^{x}}\right|-\frac{1}{x e^{x}+1}+C \\ \text { c) } \ln \left|\frac{x e^{x}+1}{x e^{x}}\right|+\frac{1}{x e^{x}+1}+C \\ \text { d) } \ln \left|\frac{x e^{x}}{1+x e^{x}}\right|+\frac{1}{x e^{x}+1}+C \\ \text { 5. En el proceso de respiración humana el gasto de aire } \\ \left(G_{A}\right) \text { hacia los pulmones es la variación del volumen } \\ (V \text { en litros) de aire inhalado respecto al tiempo }(t \\ \text { en segundos) y se modela con la representación } \\ \qquad G_{A}=0.5 \text { sen }\left(\frac{2 \pi}{5} t\right) \\ \text { Entonces la función que modela el volumen } V \text { res- } \\ \text { pecto al tiempo }(t) \text { es: } \\ \text { a) } \frac{5}{2 \pi}\left[1-\cos \left(\frac{2 \pi}{5} t\right)\right] \text { c) } \frac{5}{4 \pi}\left[1-\cos \left(\frac{2 \pi}{5} t\right)\right] \\ \text { b) } \frac{5}{\pi}\left[1-\cos \left(\frac{2 \pi}{5} t\right)\right] \text { d) } \frac{5}{2 \pi}\left[1-\cos \left(\frac{4 \pi}{5} t\right)\right]\end{array} \)
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La integral \( \int \frac{x+1}{x\left(1+x e^{x}\right)^{2}} d x \) se puede resolver usando técnicas de fracciones parciales o sustituciones adecuadas. La parte \( \frac{x+1}{x} \) puede dividirse y simplificarse, facilitando la integración mediante sustituciones como \( u = 1 + x e^x \). Esto puede llevar a una solución más manejable, con logaritmos y fracciones que pueden ser deducidas de la función resultante. En el caso del gasto de aire hacia los pulmones, el modelo \( G_{A}=0.5 \text{ sen }\left(\frac{2 \pi}{5} t\right) \) representa una función oscilatoria que puede ser integrada para obtener el volumen inhalado \( V(t) \). La integral de una función senoidal se traduce en una función coseno, que a su vez está relacionada con la variación del volumen en el tiempo. Integrar correctamente te llevará a seleccionar entre las opciones dadas de manera adecuada, considerando la amplitud del seno.
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