Esercizio 2. Si consideri il campo scalare $$ f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{5\left(x^{2}+6 y^{2}\right) \sin \left(x^{2}-y^{2}\right)}{3\left(x^{2}+y^{2}\right)} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \ 0 & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array}\right. $$ 1. Il campo $$ f $$ è continuo in $$ (0,0) $$ ? 2. Calcolare $$ \nabla f(0,0) $$.

Question

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### Risposta all'Esercizio 2

**1. Continuità del campo $$ f $$ in $$(0,0)$$:**

Per dimostrare che il campo scalare $$ f $$ è continuo in $$(0,0)$$, è necessario verificare che:

$$
\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = f(0,0)
$$

Dato che $$ f(0,0) = 0 $$, calcoliamo il limite di $$ f(x,y) $$ quando $$(x,y)$$ tende a $$(0,0)$$.

Espressiamo $$ f(x,y) $$ per $$(x,y) \neq (0,0)$$:

$$
f(x, y) = \frac{5\left(x^{2}+6 y^{2}\right) \sin \left(x^{2}-y^{2}\right)}{3\left(x^{2}+y^{2}\right)}
$$

Possiamo stimare il valore assoluto di $$ f(x,y) $$:

$$
|f(x,y)| = \left|\frac{5(x^{2} + 6 y^{2})}{3(x^{2} + y^{2})} \sin(x^{2} - y^{2})\right| \leq \frac{5(x^{2} + 6 y^{2})}{3(x^{2} + y^{2})} |\sin(x^{2} - y^{2})|
$$

Poiché $$ |\sin(z)| \leq |z| $$ per ogni $$ z $$, abbiamo:

$$
|f(x,y)| \leq \frac{5(x^{2} + 6 y^{2})}{3(x^{2} + y^{2})} |x^{2} - y^{2}|
$$

Notiamo che:

$$
\frac{x^{2} + 6 y^{2}}{x^{2} + y^{2}} \leq 6 \quad \text{(poiché } y^{2} \geq 0\text{)}
$$

Quindi:

$$
|f(x,y)| \leq \frac{5 \cdot 6}{3} |x^{2} - y^{2}| = 10 |x^{2} - y^{2}|
$$

Quando $$(x,y) \to (0,0)$$, $$ |x^{2} - y^{2}| \to 0 $$. Pertanto:

$$
\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = 0 = f(0,0)
$$

**Conclusione:** Il campo $$ f $$ è continuo in $$(0,0)$$.

---

**2. Calcolo del gradiente $$ \nabla f(0,0) $$:**

Il gradiente di $$ f $$ in $$(0,0)$$ è dato da:

$$
\nabla f(0,0) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}(0,0), \frac{\partial f}{\partial y}(0,0) \right)
$$

Calcoliamo separatamente le derivate parziali.

**Derivata parziale rispetto ad $$ x $$:**

Utilizziamo la definizione di derivata parziale:

$$
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0)}{h}
$$

Calcoliamo $$ f(h,0) $$:

$$
f(h,0) = \frac{5(h^{2} + 0) \sin(h^{2} - 0)}{3(h^{2} + 0)} = \frac{5 h^{2} \sin(h^{2})}{3 h^{2}} = \frac{5}{3} \sin(h^{2})
$$

Pertanto:

$$
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{5}{3} \sin(h^{2})}{h} = \frac{5}{3} \lim_{h \to 0} \frac{\sin(h^{2})}{h}
$$

Poiché $$ \sin(h^{2}) \approx h^{2} $$ per $$ h $$ piccolo:

$$
\frac{\sin(h^{2})}{h} \approx \frac{h^{2}}{h} = h \to 0 \quad \text{quando } h \to 0
$$

Quindi:

$$
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) = 0
$$

**Derivata parziale rispetto a $$ y $$:**

Analogamente:

$$
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0,k) - f(0,0)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{f(0,k)}{k}
$$

Calcoliamo $$ f(0,k) $$:

$$
f(0,k) = \frac{5(0 + 6 k^{2}) \sin(0 - k^{2})}{3(0 + k^{2})} = \frac{30 k^{2} \sin(-k^{2})}{3 k^{2}} = -10 \sin(k^{2})
$$

Pertanto:

$$
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{-10 \sin(k^{2})}{k}
$$

Usando sempre l'approssimazione $$ \sin(k^{2}) \approx k^{2} $$ per $$ k $$ piccolo:

$$
\frac{\sin(k^{2})}{k} \approx \frac{k^{2}}{k} = k \to 0 \quad \text{quando } k \to 0
$$

Quindi:

$$
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0) = 0
$$

**Conclusione:** Il gradiente di $$ f $$ in $$(0,0)$$ è il vettore nullo:

$$
\nabla f(0,0) = (0,0)
$$
Il campo $$ f $$ è continuo in $$(0,0)$$ e il gradiente $$ \nabla f(0,0) $$ è il vettore nullo $$(0,0)$$.

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