Etudier la fonction suriante sur \( ] 0 ; 20 \) [ \( F(x)=\frac{1}{2} x^{2}+3 x+2 \)

Étudions la fonction \( F \) définie sur l'intervalle \( ]0 ; 20[ \) par : \[ F(x) = \frac{1}{2}x^{2} + 3x + 2 \] ### 1. Domaine de définition La fonction \( F \) est un polynôme du second degré. Ainsi, son domaine de définition est tout l'ensemble des réels. Cependant, l'étude est restreinte à l'intervalle \( ]0 ; 20[ \). ### 2. Continuité et différentiabilité Étant un polynôme, \( F \) est : - **Continue** sur \( ]0 ; 20[ \). - **Différentiable** sur \( ]0 ; 20[ \). ### 3. Calcul des dérivées #### Première dérivée \[ F'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2}x^{2} + 3x + 2 \right) = x + 3 \] - **Monotonie** : - \( F'(x) = x + 3 > 0 \) pour tout \( x > -3 \). - Sur \( ]0 ; 20[ \), \( x + 3 > 3 > 0 \). - Donc, \( F \) est **croissante** sur \( ]0 ; 20[ \). - **Extrema** : - Résoudre \( F'(x) = 0 \) donne \( x = -3 \), qui n'appartient pas à \( ]0 ; 20[ \). - Conclusion : Aucun extremum local sur l'intervalle étudié. #### Deuxième dérivée \[ F''(x) = \frac{d}{dx} (x + 3) = 1 \] - **Concavité** : - \( F''(x) = 1 > 0 \) pour tout \( x \). - Donc, \( F \) est **convexe** (ou concave vers le haut) sur \( ]0 ; 20[ \). ### 4. Étude des variations et limites - **Comportement aux bornes de l'intervalle** : - Pour \( x \) approchant \( 0 \) : \[ \lim_{x \to 0^+} F(x) = \frac{1}{2}(0)^2 + 3(0) + 2 = 2 \] - Pour \( x \) approchant \( 20 \) : \[ F(20) = \frac{1}{2}(20)^2 + 3(20) + 2 = 200 + 60 + 2 = 262 \] - **Tableau de variation** : | \( x \) | \( 0 \) | | \( 20 \) | |--------------------|----------------|------|---------------| | \( F'(x) \) | \( + \) | | \( + \) | | \( F(x) \) | \( 2 \) | ↑ | \( 262 \) | ### 5. Conclusion - **Monotonie** : La fonction \( F \) est strictement **croissante** sur \( ]0 ; 20[ \). - **Convexité** : Elle est **convexe** sur cet intervalle. - **Image de l'intervalle** : \( F \) prend toutes les valeurs dans l'intervalle \( ]2 ; 262[ \). - **Graphique** : La courbe de \( F \) est une parabole ouverte vers le haut, sans extremum local dans \( ]0 ; 20[ \). ### 6. Représentation graphique ![Graphique de la fonction \( F(x) = \frac{1}{2}x^{2} + 3x + 2 \) sur \( ]0 ; 20[ \)](https://www.desmos.com/calculator/xyz123) *Remarque : Remplacez le lien par un graphique généré si nécessaire.*