1a Questão (0,6 ponto) - Em uma progressão aritmética \( \left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{n}, \ldots\right) \) sabe-se que \( a_{3}+a_{5}+a_{9}=31 \) e que \( a_{2}+a_{4}+a_{7}+a_{12}=53 \). Determine: a)(0,2) o \( 2025^{\circ} \) termo da progressão.

Para resolver a questão, primeiramente devemos lembrar como se define uma progressão aritmética (PA). Em uma PA, qualquer termo pode ser expresso pela fórmula geral \( a_n = a_1 + (n-1)d \), onde \( a_1 \) é o primeiro termo e \( d \) é a razão da progressão. Dado que \( a_3 + a_5 + a_9 = 31 \): \[ a_3 = a_1 + 2d, \quad a_5 = a_1 + 4d, \quad a_9 = a_1 + 8d \] \[ (a_1 + 2d) + (a_1 + 4d) + (a_1 + 8d) = 31 \] \[ 3a_1 + 14d = 31 \quad \text{(1)} \] Agora, para \( a_2 + a_4 + a_7 + a_{12} = 53 \): \[ a_2 = a_1 + d, \quad a_4 = a_1 + 3d, \quad a_7 = a_1 + 6d, \quad a_{12} = a_1 + 11d \] \[ (a_1 + d) + (a_1 + 3d) + (a_1 + 6d) + (a_1 + 11d) = 53 \] \[ 4a_1 + 21d = 53 \quad \text{(2)} \] Agora temos um sistema de duas equações: 1. \( 3a_1 + 14d = 31 \) 2. \( 4a_1 + 21d = 53 \) Vamos resolver esse sistema. Multiplicamos a primeira equação por 4 e a segunda por 3 para eliminar \( a_1 \): \[ 12a_1 + 56d = 124 \quad \text{(3)} \] \[ 12a_1 + 63d = 159 \quad \text{(4)} \] Subtraindo (3) de (4): \[ (12a_1 + 63d) - (12a_1 + 56d) = 159 - 124 \] \[ 7d = 35 \implies d = 5 \] Substituindo \( d = 5 \) na equação (1): \[ 3a_1 + 14(5) = 31 \] \[ 3a_1 + 70 = 31 \] \[ 3a_1 = 31 - 70 = -39 \implies a_1 = -13 \] Agora que temos o primeiro termo e a razão, podemos encontrar o \( 2025^{\circ} \) termo: \[ a_{2025} = a_1 + (2025 - 1)d \] \[ a_{2025} = -13 + (2024)(5) \] \[ a_{2025} = -13 + 10120 = 10107 \] Portanto, o \( 2025^{\circ} \) termo da progressão aritmética é \( 10107 \).