26. \( x-\frac{2}{x}=8 \) olduğuna göre, \( x^{3}-\frac{8}{x^{3}} \) kaçtır? \( \begin{array}{lllll}\text { A) } 324 & \text { B) } 364 & \text { C) } 480 & \text { D) } 520 & \text { E) } 560\end{array} \)

Öncelikle verilen denklemi düzenleyelim: \( x - \frac{2}{x} = 8 \) ifadesinden \( x \) için işlem yapalım. Her iki tarafı \( x \) ile çarpalım: \( x^2 - 2 = 8x \) Bu ifadeyi düzenlediğimizde: \( x^2 - 8x - 2 = 0 \) Buradan \( x \)’in köklerini bulabiliriz. Ancak biz asıl \( x^3 - \frac{8}{x^3} \) ifadesini bulmak istiyoruz. Bunu hesaplamak için \( x - \frac{2}{x} \) değerini kullanarak bulabiliriz. Öncelikle \( a = x - \frac{2}{x} \) olduğunu belirtelim. Verilen eşitlikten \( a = 8 \) bulmuştuk. Biz şimdi \( x^3 - \frac{8}{x^3} \) ifadesini \( a \) kullanarak yazalım: \( x^3 - \frac{8}{x^3} = (x - \frac{2}{x})^3 + 3(x - \frac{2}{x})(-2) \) formülüyle elde edebiliriz. Bu durumda: \[ x^3 - \frac{8}{x^3} = a^3 + 6a \] Buradan \( a = 8 \) değerini yerine koyarsak: \[ x^3 - \frac{8}{x^3} = 8^3 + 6 \times 8 = 512 + 48 = 560 \] Sonuç olarak doğru cevap E seçeneği, yani \( 560 \).