$$ \begin{array}{l} k ext { : }\ \left\{\begin{array}{l} x+2 k y+5 k z=1 \ x+4 y+10 z=1 \end{array} ight. \end{array} $$

Question

$$ \begin{array}{l} k 	ext { : }\ \left\{\begin{array}{l} x+2 k y+5 k z=1 \ x+4 y+10 z=1 \end{array}ight. \end{array} $$

UpStudy AI · Accepted Answer

Per risolvere il sistema di equazioni lineari:

$$
\begin{cases}
x + 2k\, y + 5k\, z = 1 \
x + 4\, y + 10\, z = 1
\end{cases}
$$

procediamo nel seguente modo:

1. **Sottrazione delle equazioni:**

Sottraiamo la seconda equazione dalla prima per eliminare $$ x $$:

$$
   (x + 2k\, y + 5k\, z) - (x + 4\, y + 10\, z) = 1 - 1
   $$

Questo semplifica a:

$$
   (2k - 4)\, y + (5k - 10)\, z = 0
   $$

Possiamo fattorizzare:

$$
   2(k - 2)\, y + 5(k - 2)\, z = 0 \implies (k - 2)(2y + 5z) = 0
   $$

2. **Casi da considerare:**

Ci sono due possibilità principali basate sul valore di $$ k $$:

- **Caso 1: $$ k = 2 $$**
     
     Se $$ k = 2 $$, l'equazione risultante diventa $$ 0 = 0 $$, il che significa che le due equazioni originali sono identiche:
     
     $$
     x + 4\, y + 10\, z = 1
     $$
     
     In questo caso, il sistema ha **infinite soluzioni**. Possiamo esprimere $$ x $$ in funzione di $$ y $$ e $$ z $$:
     
     $$
     x = 1 - 4\, y - 10\, z
     $$
     
     Dove $$ y $$ e $$ z $$ possono assumere qualsiasi valore reale.

- **Caso 2: $$ k \neq 2 $$**
     
     Se $$ k \neq 2 $$, allora:
     
     $$
     2y + 5z = 0 \implies y = -\frac{5}{2}\, z
     $$
     
     Sostituendo $$ y $$ nella prima equazione:
     
     $$
     x + 2k\left(-\frac{5}{2}\, z\right) + 5k\, z = 1 \implies x - 5k\, z + 5k\, z = 1 \implies x = 1
     $$
     
     In questo caso, le soluzioni del sistema sono:
     
     $$
     x = 1, \quad y = -\frac{5}{2}\, z, \quad z \text{ è libero}
     $$
     
     Anche in questo caso, il sistema ha **infinite soluzioni**, ma la relazione tra $$ y $$ e $$ z $$ è vincolata dalla equazione $$ y = -\frac{5}{2}\, z $$, mentre $$ x $$ è costante.

3. **Conclusione:**

Indipendentemente dal valore di $$ k $$, il sistema presentato ha **infinite soluzioni**. La natura delle soluzioni dipende dal valore di $$ k $$:

- Se $$ k = 2 $$, $$ x $$ è espresso in funzione di $$ y $$ e $$ z $$ senza ulteriori restrizioni.
   - Se $$ k \neq 2 $$, $$ x $$ è sempre 1 e $$ y $$ è proporzionale a $$ z $$ secondo la relazione $$ y = -\frac{5}{2}\, z $$.

Questa analisi completa la risoluzione del sistema dato.
Il sistema di equazioni ha infinite soluzioni. Se $$ k = 2 $$, $$ x = 1 - 4y - 10z $$ e $$ y $$ e $$ z $$ possono essere qualsiasi. Se $$ k \neq 2 $$, $$ x = 1 $$ e $$ y = -\frac{5}{2}z $$, con $$ z $$ libero.

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