10. Reducir la siguiente fracción algebraica. \( \left[\frac{a^{2}+b^{2}}{2 a b}+1\right]\left[\frac{a-b}{a+b}+\frac{a+b}{a-b}\right]\left[\frac{a b(a-b)}{a^{2}+b^{2}}\right] \)

Primero, comenzamos a simplificar cada uno de los factores por separado. El primer término \(\frac{a^{2}+b^{2}}{2ab}+1\) se puede escribir como \(\frac{a^{2}+b^{2}+2ab}{2ab} = \frac{(a+b)^{2}}{2ab}\). El segundo término \(\frac{a-b}{a+b}+\frac{a+b}{a-b}\) puede simplificarse obteniendo un denominador común: \[ \frac{(a-b)^2 + (a+b)^2}{(a+b)(a-b)} = \frac{a^2 - 2ab + b^2 + a^2 + 2ab + b^2}{(a+b)(a-b)} = \frac{2a^2 + 2b^2}{(a+b)(a-b)}. \] Ahora, el tercer término es \(\frac{ab(a-b)}{a^{2}+b^{2}}\). Uniendo todas las partes y multiplicando, la expresión se hace más clara: \[ \left[\frac{(a+b)^{2}}{2ab}\right]\left[\frac{2(a^{2}+b^{2})}{(a+b)(a-b)}\right]\left[\frac{ab(a-b)}{a^{2}+b^{2}}\right]. \] Al simplificar, los términos \( (a+b) \) y \( (a-b) \) se cancelan y finalmente, la fracción algebraica se reduce a: \[ \frac{(a+b)ab}{2}. \]