\( \frac{x^{2}+2 x}{1+x}+\frac{1}{1+x} \) при \( x=4,1 \)

Дано выражение: \[ \frac{x^{2} + 2x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x} \] Упростим его сначала: \[ \frac{x^{2} + 2x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x} = \frac{x^{2} + 2x + 1}{1 + x} \] Заметим, что числитель можно разложить: \[ x^{2} + 2x + 1 = (x + 1)^{2} \] Таким образом, выражение упрощается до: \[ \frac{(x + 1)^{2}}{x + 1} = x + 1 \quad (x \neq -1) \] Теперь вычислим значение выражения при \( x = 4 \) и \( x = 1 \): 1. **При \( x = 4 \):** \[ x + 1 = 4 + 1 = 5 \] 2. **При \( x = 1 \):** \[ x + 1 = 1 + 1 = 2 \] **Ответ:** \[ \frac{x^{2} + 2x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x} = \begin{cases} 5, & \text{при } x = 4 \\ 2, & \text{при } x = 1 \end{cases} \]