Задача 4. [1 балл] Уравнение \( 4 x^{2}+5 x-3=0 \) имеет два корня: \( x_{1} \) и \( x_{2} \). Вычислите \( x_{1} x_{2}^{3}+x_{2} x_{1}^{3} \). Алгебра. Часть с развёрнутыми решениями В задачах 5-7 необходимо написать полные решения. Задача 5. [1 балл] Отношение гипотенузы прямоугольного треугольника к одному из катетов равно 5:3, а другой катет равен 36 . Найдите периметр треугольника. Задача 6. [1 балл] Сравните \( \sqrt{4+\sqrt{9+\sqrt{6}}} \) и \( 1+\sqrt{3} \).

**Задача 4. [1 балл]** Уравнение \(4x^{2} + 5x - 3 = 0\) имеет сумму корней \(x_{1} + x_{2} = -\frac{5}{4}\) и произведение корней \(x_{1}x_{2} = -\frac{3}{4}\). Необходимо вычислить: \[ x_{1}x_{2}^{3} + x_{2}x_{1}^{3} = x_{1}x_{2}(x_{1}^{2} + x_{2}^{2}) \] Сначала найдем \(x_{1}^{2} + x_{2}^{2}\): \[ x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2x_{1}x_{2} = \left(-\frac{5}{4}\right)^{2} - 2\left(-\frac{3}{4}\right) = \frac{25}{16} + \frac{6}{4} = \frac{49}{16} \] Теперь подставляем: \[ x_{1}x_{2}^{3} + x_{2}x_{1}^{3} = \left(-\frac{3}{4}\right) \times \frac{49}{16} = -\frac{147}{64} \] **Ответ:** \(-\frac{147}{64}\) --- **Задача 5. [1 балл]** Дано отношение гипотенузы к одному из катетов \(5:3\) и другой катет равен 36. Обозначим: - Катет, соответствующий 3, равен \(a = 36\). - Гипотенуза \(c = \frac{5}{3}a = \frac{5}{3} \times 36 = 60\). - Другой катет \(b\) находим по теореме Пифагора: \[ a^{2} + b^{2} = c^{2} \Rightarrow 36^{2} + b^{2} = 60^{2} \Rightarrow 1296 + b^{2} = 3600 \Rightarrow b^{2} = 2304 \Rightarrow b = 48 \] Периметр треугольника: \[ P = a + b + c = 36 + 48 + 60 = 144 \] **Ответ:** Периметр равен 144. --- **Задача 6. [1 балл]** Сравним \( \sqrt{4 + \sqrt{9 + \sqrt{6}}} \) и \( 1 + \sqrt{3} \). Вычислим приблизительно: \[ \sqrt{6} \approx 2.449 \] \[ \sqrt{9 + \sqrt{6}} \approx \sqrt{9 + 2.449} \approx \sqrt{11.449} \approx 3.381 \] \[ \sqrt{4 + \sqrt{9 + \sqrt{6}}} \approx \sqrt{4 + 3.381} \approx \sqrt{7.381} \approx 2.718 \] \[ 1 + \sqrt{3} \approx 1 + 1.732 \approx 2.732 \] Сравнивая: \[ 2.718 < 2.732 \] **Ответ:** \( \sqrt{4 + \sqrt{9 + \sqrt{6}}} < 1 + \sqrt{3} \).