83-84 a Nos dan una función \( f(x) \). (a) Encuentre el dominio de la función \( f \). (b) Encuentre la función inversa de \( f \). 83. \( f(x)=\log _{2}\left(\log _{10} x\right) \)

Para encontrar el dominio de la función \( f(x) = \log_{2}(\log_{10} x) \), necesitamos considerar los valores de \( x \) para los cuales la función está definida. Para que la función \( f(x) \) esté definida, los argumentos de las funciones logarítmicas deben ser positivos. Por lo tanto, necesitamos encontrar los valores de \( x \) que hacen que \( \log_{10} x \) y \( \log_{2}(\log_{10} x) \) sean positivos. 1. Para que \( \log_{10} x \) sea positivo, \( x \) debe ser mayor que 1. 2. Para que \( \log_{2}(\log_{10} x) \) sea positivo, \( \log_{10} x \) debe ser mayor que 1. Por lo tanto, el dominio de la función \( f(x) \) es \( x > 1 \). Para encontrar la función inversa de \( f(x) \), denotada como \( f^{-1}(x) \), podemos seguir los siguientes pasos: 1. Sustituimos \( f(x) \) en la ecuación \( y = f(x) \) y luego intercambiamos \( x \) y \( y \). 2. Resolvemos la ecuación resultante para \( y \) para obtener la función inversa. Sustituyendo \( f(x) = \log_{2}(\log_{10} x) \) en \( y = f(x) \), obtenemos: \[ y = \log_{2}(\log_{10} x) \] Intercambiando \( x \) y \( y \), tenemos: \[ x = \log_{2}(\log_{10} y) \] Ahora, resolvemos la ecuación para \( y \) para encontrar la función inversa \( f^{-1}(x) \). Vamos a calcularlo. Solve the equation by following steps: - step0: Solve for \(y\): \(x=\log_{2}{\left(\log_{10}{\left(y\right)}\right)}\) - step1: Swap the sides: \(\log_{2}{\left(\log_{10}{\left(y\right)}\right)}=x\) - step2: Convert the logarithm into exponential form: \(\log_{10}{\left(y\right)}=2^{x}\) - step3: Convert the logarithm into exponential form: \(y=10^{\left(2^{x}\right)}\) La función inversa de \( f(x) = \log_{2}(\log_{10} x) \) es: \[ f^{-1}(x) = 10^{(2^{x})} \] Por lo tanto, el dominio de la función \( f(x) \) es \( x > 1 \) y la función inversa de \( f(x) \) es \( f^{-1}(x) = 10^{(2^{x})} \).