Dada la igualdad: \( \overline{a(a+1)(a+2)(a+3)}{ }_{(5)}=\overline{b c d}_{(7)} \). Halla la suma de \( a, b, c y d \) a) 10 b) 12 c) 13 d) 14 e) 1

Primero, resolvamos la parte izquierda de la igualdad \( \overline{a(a+1)(a+2)(a+3)}{ }_{(5)} \). Esto significa que estamos representando un número en base 5. El número en base 5 se expresa como: \[ n = a \cdot 5^3 + (a+1) \cdot 5^2 + (a+2) \cdot 5^1 + (a+3) \cdot 5^0 \] Calculando esto: \[ n = a \cdot 125 + (a+1) \cdot 25 + (a+2) \cdot 5 + (a+3) \] \[ = 125a + 25a + 25 + 5a + 10 + a + 3 = 151a + 38 \] Luego, para la parte derecha de la igualdad \( \overline{b c d}_{(7)} \): \[ m = b \cdot 7^2 + c \cdot 7^1 + d \cdot 7^0 = 49b + 7c + d \] Ahora podemos igualar la expresión de \( n \) y \( m \): \[ 151a + 38 = 49b + 7c + d \] Para resolver el problema, trabajaremos con valores aceptables para \( a \). Dado que \( a \) debe ser un dígito en base 5, los posibles valores son \( 0, 1, 2, 3, 4 \). Vamos a probar los valores: 1. **Para \( a = 0 \)**: \[ 151(0) + 38 = 38 \] \( 38 \) en base 7 sería \( 5 \cdot 7^1 + 3 \cdot 7^0 \), así que \( b=5, c=3, d=0 \). La suma es \( 0 + 5 + 3 + 0 = 8 \). 2. **Para \( a = 1 \)**: \[ 151(1) + 38 = 189 \] \( 189 \) en base 7 sería \( 3 \cdot 7^2 + 6 \cdot 7^1 + 0\), así que \( b=3, c=6, d=0 \). La suma es \( 1 + 3 + 6 + 0 = 10 \). 3. **Para \( a = 2 \)**: \[ 151(2) + 38 = 340 \] \( 340 \) en base 7 resulta en \( 6 \cdot 7^2 + 5 \cdot 7^1 + 0 \), así que \( b=6, c=5, d=0 \). La suma es \( 2 + 6 + 5 + 0 = 13 \). 4. **Para \( a = 3 \)**: \[ 151(3) + 38 = 491 \] Aquí \( 491 \) en base 7 es \( 10 \cdot 7^2 + 0 \cdot 7^1 + 4 \), así que \( b=10, c=0, d=4 \). La suma es \( 3 + 10 + 0 + 4 = 17 \) (no válido, ya que \( b \) no puede ser 10). 5. **Para \( a = 4 \)**: \[ 151(4) + 38 = 642 \] Aquí \( 642 \) en base 7 sería \( 12 \cdot 7^2 + 6 \cdot 7^1 + 0 \), así que \( b=12, c=6, d=0 \). La suma es \( 4 + 12 + 6 + 0 = 22 \) (también no válido). Finalmente podemos concluir que la única combinación válida para la suma de \( a, b, c, d \) que se ajusta a la igualdad es: La respuesta correcta es \( 10 \). Así que la suma de \( a, b, c, \) y \( d \) es \( \boxed{10} \).