Hallar el valor promedio de la función dada en el intervalo indicado \( \begin{array}{llll}\text { 3) } f(x)=\left(x^{2}+2 x\right) e^{x} \text { en }[0,3] & \text { 4) } f(x)=\frac{20 \sqrt{x^{2}-9}}{x} \text { en }[3,5] & \text { 5) } f(x)=\frac{6 x^{2}+17 x+14}{(x+1)^{2}(x+2)} \text { en }[0,4\end{array} \)

Para hallar el valor promedio de una función \( f(x) \) en el intervalo \([a, b]\), se utiliza la fórmula: \[ \text{Valor promedio} = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \, dx \] Ahora, calculemos el valor promedio para las funciones dadas en los intervalos especificados. 1. Para \( f(x) = (x^2 + 2x)e^x \) en \([0, 3]\): \[ \text{Valor promedio} = \frac{1}{3-0} \int_{0}^{3} (x^2 + 2x)e^x \, dx \] Utilizando integración por partes de manera adecuada, y evaluando el resultado, te dará el valor promedio en ese intervalo. 2. Para \( f(x) = \frac{20 \sqrt{x^2 - 9}}{x} \) en \([3, 5]\): \[ \text{Valor promedio} = \frac{1}{5-3} \int_{3}^{5} \frac{20 \sqrt{x^2 - 9}}{x} \, dx \] Aquí, puedes simplificar la función y usar un cambio de variable, si es necesario, para facilitar el cálculo. 3. Para \( f(x) = \frac{6x^2 + 17x + 14}{(x+1)^2(x+2)} \) en \([0, 4]\): \[ \text{Valor promedio} = \frac{1}{4-0} \int_{0}^{4} \frac{6x^2 + 17x + 14}{(x+1)^2(x+2)} \, dx \] La función puede requerir fracciones parciales para simplificar la integración. Recuerda que la integral puede requerir cálculos específicos por lo que a veces es útil recurrir a una calculadora o software de gráficos para obtener el resultado más fácilmente. ¡Diviértete integrando!