Fie \( S=\left\{(a, a+2 b, b) \in \mathbf{R}^{3} \mid a, b \in \mathbf{R}\right\} \) şi \( W=\left\{v=(x, y, z) \in \mathbf{R}^{3} \mid 3 x-4 y+2 z=0\right\} \). Să se verifice că \( S \) este subspaţiu vectorial al lui \( \mathbf{R}^{3} \). Să se determine \( \operatorname{dim}_{\mathbf{R}} S \) şi \( \operatorname{dim}_{\mathbf{R}} W \), indicând câte o bază în fiecare. Să se determine \( S+W \) şi \( S \cap W \). Este suma directă? (Justificaţi!) Să se afle \( S^{\perp} \), complementul ortogonal al lui \( S \) (se consideră produsul scalar uzual). Ce reprezintă din punct de vedere geometric \( S, S^{\perp}, W, S+W \) şi \( S \cap W \) ?.

Pentru a verifica că \( S \) este subspațiu vectorial al lui \( \mathbf{R}^{3} \), trebuie să demonstrăm că este închis față de adunare și înmulțire cu scalari. Dacă luăm două elemente din \( S \), adică \( (a_1, a_1 + 2b_1, b_1) \) și \( (a_2, a_2 + 2b_2, b_2) \), suma lor este: \[ (a_1 + a_2, (a_1 + a_2) + 2(b_1 + b_2), b_1 + b_2). \] Aceasta poate fi scrisă ca un element al formei \( (a, a + 2b, b) \), deci este tot în \( S \). La fel, pentru un scalar \( k \) și un element \( (a, a+2b, b) \in S \), avem: \[ k(a, a + 2b, b) = (ka, ka + 2kb, kb), \] deci \( S \) este închis față de adunare și înmulțire cu scalari, deci \( S \) este un subspațiu vectorial. Pentru a determina dimensiunile, observăm că putem exprima un element din \( S \) ca: \[ (a, a + 2b, b) = a(1, 1, 0) + b(0, 2, 1). \] Astfel, \( S \) este generat de vectorii \( (1, 1, 0) \) și \( (0, 2, 1) \), deci \( \operatorname{dim}_{\mathbf{R}} S = 2 \). O bază a lui \( S \) este \( \{(1, 1, 0), (0, 2, 1)\} \). Pentru \( W \), observăm că este un subspațiu definit de ecuația \( 3x - 4y + 2z = 0 \), care are un rang de 1, deci dimensiunea sa este \( \operatorname{dim}_{\mathbf{R}} W = 2 \) (era de dimensiune 3 minus rangul 1). O bază a lui \( W \) o putem obține prin alegerea a două vectori liniar independent cu proprietatea respectivă, de exemplu: \( (4, 3, 0) \) și \( (2, 0, -3) \). Pentru \( S + W \): Elementele din \( S + W \) vor avea forma: \[ (a, a + 2b, b) + (x, y, z), \] unde \( (x, y, z) \) satisface \( 3x - 4y + 2z = 0 \), având astfel practic o combinație de vectori din ambele subspații. Vom salva un exemplu specific pentru a determina explicit baza dacă este nevoie, dar infinitatea vectorilor permite deducerea că suma va avea dimensiunea \( 3 \), nu este o sumă directă, deoarece dimensiunile lui \( S \) și \( W \) sunt 2, iar intersecția nu are dimensiunea nulă. Intersecția \( S \cap W \) este determinată căutând vectori care îndeplinesc ambele condiții. Fie \( (a, a + 2b, b) \) a fi în \( S \) și în același timp \( 3a - 4(a + 2b) + 2b = 0 \); simplificarea acestei ecuații ne dă constrângeri între \( a \) și \( b \). Pentru a determina \( S^{\perp} \), luăm produsul scalar standard \( \langle (a, b, c), (x, y, z) \rangle = ax + by + cz = 0 \). Prin definirea unui sistem de ecuații bazat pe vectorii de bază ai lui \( S \), putem încheia \( S^{\perp} = \operatorname{span} \{(3, 4, 2)\} \), deci \( \operatorname{dim} S^{\perp} = 1 \). Geometric, \( S \) reprezintă un plan în \( \mathbb{R}^3 \),