\( \left. \begin{array} { l | l | } \hline 7 & { \frac { 7 ^ { x } + 1 } { 7 x - 49 } \geq 0 } \\ \hline 8 & { \frac { 9 ^ { x } - 81 } { 9 x + 81 } > 0 } \\ \hline \end{array} \right. \)

Certamente, risolviamo ciascuna delle due disequazioni passo dopo passo. --- ### **7. \(\frac{7^{x} + 1}{7x - 49} \geq 0\)** **Passo 1: Analisi del numeratore e del denominatore** - **Numeratore:** \(7^{x} + 1\) - Poiché \(7^{x} > 0\) per ogni \(x \in \mathbb{R}\), il numeratore è sempre positivo: \(7^{x} + 1 > 0\). - **Denominatore:** \(7x - 49 = 7(x - 7)\) - Il denominatore è **zero** quando \(x = 7\). - \(7x - 49 > 0\) quando \(x > 7\). - \(7x - 49 < 0\) quando \(x < 7\). **Passo 2: Determinare i segni della frazione** La frazione \(\frac{7^{x} + 1}{7x - 49}\) sarà: - **Positiva** quando numeratore e denominatore hanno lo stesso segno. - Dato che il numeratore è sempre positivo, la frazione è positiva quando il denominatore è positivo: \(x > 7\). - **Negativa** quando numeratore e denominatore hanno segni opposti. - Questo avviene quando \(x < 7\), ma dato che la disequazione richiede \(\geq 0\), non consideriamo questa area. **Passo 3: Considerare i punti critici** - **\(x = 7\):** La frazione non è definita (denominatore zero). Quindi, \(x = 7\) non è incluso nell'insieme soluzione. **Soluzione finale:** \[ x > 7 \] --- ### **8. \(\frac{9^{x} - 81}{9x + 81} > 0\)** **Passo 1: Semplificare l'espressione** - **Numeratore:** \(9^{x} - 81 = 9^{x} - 9^{2}\) - **Denominatore:** \(9x + 81 = 9(x + 9)\) **Passo 2: Trovare i punti critici** - **Numeratore zero:** \(9^{x} - 81 = 0 \Rightarrow 9^{x} = 81 \Rightarrow 9^{x} = 9^{2} \Rightarrow x = 2\) - **Denominatore zero:** \(9x + 81 = 0 \Rightarrow x = -9\) **Passo 3: Analizzare gli intervalli determinati dai punti critici** Divideremo la retta reale in tre intervalli: 1. \(x < -9\) 2. \(-9 < x < 2\) 3. \(x > 2\) **Analisi per ogni intervallo:** 1. **Intervallo \(x < -9\):** - **Numeratore:** \(9^{x} \) tende a 0, quindi \(9^{x} - 81 < 0\) - **Denominatore:** \(9x + 81 < 0\) - **Frazione:** Negativo / Negativo = Positivo 2. **Intervallo \(-9 < x < 2\):** - **Numeratore:** \(9^{x} - 81 < 0\) (poiché \(9^{x}\) aumenta con \(x\), ma per \(x < 2\), \(9^{x} < 81\)) - **Denominatore:** \(9x + 81 > 0\) - **Frazione:** Negativo / Positivo = Negativo 3. **Intervallo \(x > 2\):** - **Numeratore:** \(9^{x} - 81 > 0\) (poiché \(x > 2\), \(9^{x} > 81\)) - **Denominatore:** \(9x + 81 > 0\) - **Frazione:** Positivo / Positivo = Positivo **Passo 4: Considerare i punti critici** - **\(x = -9\):** La frazione non è definita. - **\(x = 2\):** La frazione è zero, ma la disequazione è strettamente maggiore di zero, quindi \(x = 2\) non è incluso. **Soluzione finale:** \[ x < -9 \quad \text{oppure} \quad x > 2 \] In notazione intervallare: \[ x \in (-\infty, -9) \cup (2, +\infty) \] --- **Riassunto delle soluzioni:** - **Inequazione 7:** \(x > 7\) - **Inequazione 8:** \(x < -9\) oppure \(x > 2\)