$$ \frac{a+i b}{a-i b} $$ का कोणांक ज्ञात कीजिए।

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

दिए गए जटिल संख्या $$ \frac{a + i b}{a - i b} $$ का कोणांक (अर्गुमेंट) ज्ञात करने के लिए, निम्नलिखित चरणों का पालन करते हैं:

1. **जटिल संख्या को सरल बनाएं:**

$$
   \frac{a + i b}{a - i b} = \frac{(a + i b)(a + i b)}{a^2 + b^2} = \frac{a^2 - b^2 + 2i a b}{a^2 + b^2}
   $$

2. **अर्गुमेंट निकालें:**

किसी भी जटिल संख्या $$ z = x + i y $$ का अर्गुमेंट $$ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) $$ होता है। यहाँ:

$$
   \theta = \tan^{-1}\left(\frac{2ab}{a^2 - b^2}\right)
   $$

लेकिन इसे और सरल रूप में व्यक्त किया जा सकता है। यदि $$ \theta_1 = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) $$ हो, तो:

$$
   \theta = 2 \theta_1 = 2 \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)
   $$

इस प्रकार, $$ \frac{a + i b}{a - i b} $$ का कोणांक है:

$$
2 \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)
$$

**समाप्त।**

### संक्षेप में:
$$
\text{कोणांक} = 2\, \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)
$$
कोणांक $$ 2 \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) $$ है।

\( \frac{a+i b}{a-i b} \) का कोणांक ज्ञात कीजिए।