Pregunta
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and
Find both and , stating domain and
range of each.

Ask by Rose Herrera. in Australia
Dec 28,2024

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Respuesta verificada por el tutor

Responder

with domain all real numbers and range .
with domain all real numbers and range .

Solución

Given the functions:
Let’s find both compositions and , along with their domains and ranges.

1. Composition

Definition:
Calculation:
Domain:
Both and are polynomial functions, which are defined for all real numbers. Therefore, the domain of is:
Range:
Thus, the range is:

2. Composition

Definition:
Calculation:
Expanding the square:
This can also be written in vertex form by completing the square:
Domain:
Again, since both and are defined for all real numbers, the domain of is:
Range:
Thus, the range is:

Summary

  • (x):
  • (x):
Final Answer:
After simplifying, the compositions are
f ∘ g (x ) = 6x² – 1 with domain all real numbers and range [ –1, ∞ )
g ∘ f (x ) = 12x² – 12x + 3 with domain all real numbers and range [ 0, ∞ )

Respondido por UpStudy AI y revisado por un tutor profesional

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Simplifique esta solución

Beyond the Answer

To find and :
  1. For :
    The domain of is all real numbers , since a quadratic function is defined for all . The range of is all real numbers because the minimum value of is 0 (when ).
  2. For :
    Here, the domain of is also all real numbers . For the range of , this is a quadratic that opens upwards, so it has a minimum value. Completing the square shows that the minimum occurs at , giving the minimum value of . Thus, the range is .
So, we have:
  • ; Domain: , Range:
  • ; Domain: , Range:

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