\( \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { \sin n x } { n ^ { 2 } } \)

Berilgan ifoda \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n^2} \) ko‘paytmasi bo‘lib, bu seriya konvergentdir. Ushbu seriyaning natijasini topish uchun, biz uni biror bir ma'lum funksiya bilan bog‘lashimiz mumkin. Bu seriya bilan bog‘liq bo‘lgan funksiya \( \text{Li}_2(e^{ix}) \) deb ataladi, bu yerda \( \text{Li}_2(z) \) - bu dilogaritm funksiyasi. Ushbu funksiya quyidagi ifoda bilan ifodalanadi: \[ \text{Li}_2(z) = -\int_0^z \frac{\log(1-t)}{t} dt \] Shuningdek, \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{inx}}{n^2} \) seriyasini ko‘rib chiqamiz: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{inx}}{n^2} = \text{Li}_2(e^{ix}) \] Bu holda, \( \sin(nx) \) ni olish uchun, \( e^{inx} \) va \( e^{-inx} \) ni qo‘shamiz: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n^2} = \frac{1}{2i} \left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{inx}}{n^2} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{-inx}}{n^2} \right) = \frac{1}{2i} \left( \text{Li}_2(e^{ix}) - \text{Li}_2(e^{-ix}) \right) \] Bu ifodani yanada soddalashtirish mumkin. Natijada, quyidagi ifodani olamiz: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n^2} = \frac{1}{2i} \left( \text{Li}_2(e^{ix}) - \text{Li}_2(e^{-ix}) \right) \] Bu yerda \( \text{Li}_2(e^{ix}) \) va \( \text{Li}_2(e^{-ix}) \) ni hisoblash orqali, seriyaning aniq qiymatini olishimiz mumkin. Shunday qilib, natijada: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n^2} = \frac{\pi^2 - x^2}{4} \] Bu ifoda \( |x| < \pi \) bo‘lganda to‘g‘ri keladi.