e. Produire le circuit numérique correspondant aux équations algébriques suivantes: $$ F 1=a \cdot b \cdot d \cdot e+a, b \cdot \bar{e}+a \cdot c \cdot \bar{d}+b \cdot \bar{c} \cdot \bar{d}+\bar{b} \cdot \bar{d} $$ $$ F 2=(a+\bar{b}) \cdot(\bar{a}+b) \cdot(\bar{a}+\bar{b}) $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Pour produire les circuits numériques correspondant aux équations algébriques données, nous allons analyser chaque fonction $$ F_1 $$ et $$ F_2 $$ séparément. Nous utiliserons des portes logiques de base telles que ET (AND), OU (OR) et NON (NOT).

### 1. Fonction $$ F_1 $$

**Équation algébrique :**
$$ F_1 = a \cdot b \cdot d \cdot e + a \cdot b \cdot \overline{e} + a \cdot c \cdot \overline{d} + b \cdot \overline{c} \cdot \overline{d} + \overline{b} \cdot \overline{d} $$

**Étapes de conception du circuit :**

1. **Inversion des signaux :**
   - Générer les compléments nécessaires :
     - $$ \overline{b} $$
     - $$ \overline{c} $$
     - $$ \overline{d} $$
     - $$ \overline{e} $$

Utiliser des portes NOT pour obtenir ces signaux.

2. **Création des termes produits (AND) :**
   - $$ T_1 = a \cdot b \cdot d \cdot e $$ : Utiliser une porte AND à 4 entrées.
   - $$ T_2 = a \cdot b \cdot \overline{e} $$ : Utiliser une porte AND à 3 entrées.
   - $$ T_3 = a \cdot c \cdot \overline{d} $$ : Utiliser une porte AND à 3 entrées.
   - $$ T_4 = b \cdot \overline{c} \cdot \overline{d} $$ : Utiliser une porte AND à 3 entrées.
   - $$ T_5 = \overline{b} \cdot \overline{d} $$ : Utiliser une porte AND à 2 entrées.

3. **Combinaison des termes avec une porte OR :**
   - Connecter les sorties de $$ T_1, T_2, T_3, T_4, $$ et $$ T_5 $$ à une porte OR à 5 entrées pour obtenir $$ F_1 $$.

**Schéma du circuit :**

```
a ----|       |       
      | AND3 |----\
b ----|       |     \
                           |       |
d ----| AND4 |----\      |       |
e ----|       |     \----| OR5   |---- F1
a ----|       |      /----|       |
b ----| AND3 |----/      |       |
¬e ---|       |           |       |
a ----|       |           |
c ----| AND3 |----\        |
¬d ---|       |     \------|
b ----|       |      \
¬c ---| AND3 |----\   \
¬d ---|       |     \   \
¬b ---|       |      \----|
¬d ---| AND2 |----/
```

### 2. Fonction $$ F_2 $$

**Équation algébrique :**
$$ F_2 = (a + \overline{b}) \cdot (\overline{a} + b) \cdot (\overline{a} + \overline{b}) $$

**Étapes de conception du circuit :**

1. **Inversion des signaux :**
   - Générer les compléments nécessaires :
     - $$ \overline{a} $$
     - $$ \overline{b} $$

Utiliser des portes NOT pour obtenir ces signaux.

2. **Création des termes sommés (OR) :**
   - $$ S_1 = a + \overline{b} $$ : Utiliser une porte OR à 2 entrées.
   - $$ S_2 = \overline{a} + b $$ : Utiliser une porte OR à 2 entrées.
   - $$ S_3 = \overline{a} + \overline{b} $$ : Utiliser une porte OR à 2 entrées.

3. **Combinaison des termes avec une porte AND :**
   - Connecter les sorties de $$ S_1, S_2, $$ et $$ S_3 $$ à une porte AND à 3 entrées pour obtenir $$ F_2 $$.

**Schéma du circuit :**

```
a ----|           |       
      |    OR1    |----\
¬b ---|           |     \
                           |       |
¬a ---|           |----\  |       |
      |    OR2    |     \ |       |
b ----|           |      \| AND3  |---- F2
                           |       |
¬a ---|           |      /|       |
      |    OR3    |     / |       |
¬b ---|           |----/  |       |
```

### Description des Composants Utilisés :

- **Portes NON (NOT) :** Inversent le signal d'entrée.
- **Portes ET (AND) :** Effectuent l'opération logique ET sur les entrées.
- **Portes OU (OR) :** Effectuent l'opération logique OU sur les entrées.

### Remarques :

- **Optimisation :** Les circuits présentés sont directement basés sur les équations algébriques données. Selon les besoins, il est possible d'optimiser ces circuits en utilisant des simplifications logiques (par exemple, les tables de Karnaugh) pour réduire le nombre de portes utilisées.
  
- **Symboles Logiques :** Pour une représentation graphique précise, il est recommandé d'utiliser des symboles standards des portes logiques dans un logiciel de dessin de circuits ou sur papier.

En suivant ces étapes, vous pourrez réaliser les circuits numériques correspondants aux fonctions $$ F_1 $$ et $$ F_2 $$.
Pour la fonction $$ F_1 $$, connectez les entrées $$ a, b, d, e $$ à une porte AND à 4 entrées pour $$ a \cdot b \cdot d \cdot e $$. Ajoutez $$ a \cdot b \cdot \overline{e} $$, $$ a \cdot c \cdot \overline{d} $$, $$ b \cdot \overline{c} \cdot \overline{d} $$, et $$ \overline{b} \cdot \overline{d} $$ à une porte OR à 5 entrées pour obtenir $$ F_1 $$. Pour la fonction $$ F_2 $$, utilisez des portes OR pour $$ a + \overline{b} $$, $$ \overline{a} + b $$, et $$ \overline{a} + \overline{b} $$, puis connectez-les à une porte AND à 3 entrées pour obtenir $$ F_2 $$. Ces circuits utilisent des portes logiques de base pour implémenter les équations algébriques données.

e. Produire le circuit numérique correspondant aux équations algébriques suivantes: \[ F 1=a \cdot b \cdot d \cdot e+a, b \cdot \bar{e}+a \cdot c \cdot \bar{d}+b \cdot \bar{c} \cdot \bar{d}+\bar{b} \cdot \bar{d} \] \[ F 2=(a+\bar{b}) \cdot(\bar{a}+b) \cdot(\bar{a}+\bar{b}) \]

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