La solución de la integral \( \int \frac{x+1}{x\left(1+x e^{x}\right)^{2}} d x \) es: \( \begin{array}{l}\text { a) } \ln \left|\frac{x e^{x}}{1-x e^{x}}\right|+\frac{1}{x e^{x}+1}+C \\ \text { b) } \ln \left|\frac{x e^{x}}{1+x e^{x}}\right|-\frac{1}{x e^{x}+1}+C \\ \text { c) } \ln \left|\frac{x e^{x}+1}{x e^{x}}\right|+\frac{1}{x e^{x}+1}+C \\ \text { d) } \ln \left|\frac{x e^{x}}{1+x e^{x}}\right|+\frac{1}{x e^{x}+1}+C\end{array} \)

La solución correcta de la integral es la opción **d)**: \[ \ln \left|\frac{x e^{x}}{1+x e^{x}}\right|+\frac{1}{x e^{x}+1}+C \] **Explicación:** Para resolver la integral: \[ \int \frac{x+1}{x\left(1+x e^{x}\right)^{2}} \, dx \] Realizamos el siguiente cambio de variable: Sea \( t = x e^{x} \). Entonces, \[ dt = e^{x}(x + 1) \, dx \quad \Rightarrow \quad dx = \frac{dt}{e^{x}(x + 1)} \] Sustituyendo en la integral original: \[ \int \frac{x+1}{x\left(1+t\right)^{2}} \cdot \frac{dt}{e^{x}(x + 1)} = \int \frac{1}{x e^{x} (1+t)^2} \, dt = \int \frac{1}{t (1+t)^2} \, dt \] Descomponemos en fracciones parciales: \[ \frac{1}{t(1+t)^2} = \frac{1}{t} - \frac{1}{1+t} - \frac{1}{(1+t)^2} \] Integrando término a término: \[ \int \frac{1}{t} \, dt - \int \frac{1}{1+t} \, dt - \int \frac{1}{(1+t)^2} \, dt = \ln|t| - \ln|1+t| + \frac{1}{1+t} + C \] Reemplazando \( t = x e^{x} \): \[ \ln|x e^{x}| - \ln|1 + x e^{x}| + \frac{1}{1 + x e^{x}} + C = \ln\left|\frac{x e^{x}}{1 + x e^{x}}\right| + \frac{1}{1 + x e^{x}} + C \] Por lo tanto, la respuesta coincide con la opción **d)**.