La solución de la integral $$ \int \frac{x+1}{x\left(1+x e^{x} ight)^{2}} d x $$ es: $$ \begin{array}{l} ext { a) } \ln \left|\frac{x e^{x}}{1-x e^{x}} ight|+\frac{1}{x e^{x}+1}+C \ ext { b) } \ln \left|\frac{x e^{x}}{1+x e^{x}} ight|-\frac{1}{x e^{x}+1}+C \ ext { c) } \ln \left|\frac{x e^{x}+1}{x e^{x}} ight|+\frac{1}{x e^{x}+1}+C \ ext { d) } \ln \left|\frac{x e^{x}}{1+x e^{x}} ight|+\frac{1}{x e^{x}+1}+C\end{array} $$

Question

La solución de la integral $$ \int \frac{x+1}{x\left(1+x e^{x}ight)^{2}} d x $$ es: $$ \begin{array}{l}	ext { a) } \ln \left|\frac{x e^{x}}{1-x e^{x}}ight|+\frac{1}{x e^{x}+1}+C \ 	ext { b) } \ln \left|\frac{x e^{x}}{1+x e^{x}}ight|-\frac{1}{x e^{x}+1}+C \ 	ext { c) } \ln \left|\frac{x e^{x}+1}{x e^{x}}ight|+\frac{1}{x e^{x}+1}+C \ 	ext { d) } \ln \left|\frac{x e^{x}}{1+x e^{x}}ight|+\frac{1}{x e^{x}+1}+C\end{array} $$

UpStudy AI · Accepted Answer

La solución correcta de la integral es la opción **d)**:

$$ \ln \left|\frac{x e^{x}}{1+x e^{x}}\right|+\frac{1}{x e^{x}+1}+C $$

**Explicación:**

Para resolver la integral:

$$
\int \frac{x+1}{x\left(1+x e^{x}\right)^{2}} \, dx
$$

Realizamos el siguiente cambio de variable:

Sea $$ t = x e^{x} $$. Entonces,

$$
dt = e^{x}(x + 1) \, dx \quad \Rightarrow \quad dx = \frac{dt}{e^{x}(x + 1)}
$$

Sustituyendo en la integral original:

$$
\int \frac{x+1}{x\left(1+t\right)^{2}} \cdot \frac{dt}{e^{x}(x + 1)} = \int \frac{1}{x e^{x} (1+t)^2} \, dt = \int \frac{1}{t (1+t)^2} \, dt
$$

Descomponemos en fracciones parciales:

$$
\frac{1}{t(1+t)^2} = \frac{1}{t} - \frac{1}{1+t} - \frac{1}{(1+t)^2}
$$

Integrando término a término:

$$
\int \frac{1}{t} \, dt - \int \frac{1}{1+t} \, dt - \int \frac{1}{(1+t)^2} \, dt = \ln|t| - \ln|1+t| + \frac{1}{1+t} + C
$$

Reemplazando $$ t = x e^{x} $$:

$$
\ln|x e^{x}| - \ln|1 + x e^{x}| + \frac{1}{1 + x e^{x}} + C = \ln\left|\frac{x e^{x}}{1 + x e^{x}}\right| + \frac{1}{1 + x e^{x}} + C
$$

Por lo tanto, la respuesta coincide con la opción **d)**.
La solución correcta es la opción **d)**: $$ \ln \left|\frac{x e^{x}}{1+x e^{x}}\right|+\frac{1}{x e^{x}+1}+C $$

La solución de la integral es:

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

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Solución

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