Fie forma pătratică
pentru orice .
2.1. Să se scrie forma biliniară simetrică asociată şi matricea asociată (în raport cu baza
canonică).
2.2. Să se aducă forma pătratică la o formă canonică, precizând baza formei canonice şi
rangul formei.
2.3. Să se indice, dacă există, trei vectori pentru care şi , . Este pozitiv definită?
Ask by Reid Ellis. in Romania
Jan 21,2025
Solución de inteligencia artificial de Upstudy
Respuesta verificada por el tutor
Responder
2.2. Aducerea formei pătratice la o formă canonică
Forma pătratică poate fi adusă la o formă canonică prin eliminarea termenilor încrucișați. După transformări adecvate, forma canonică devine:
Baza formei canonice este formată din vectorii , , și , iar rangul formei este .
Solución
¡Inicia sesión para desbloquear respuestas gratis!
Una plataforma de aprendizaje en la que confían millones de estudiantes y profesores reales.
Descubrir
Respondido por UpStudy AI y revisado por un tutor profesional
Como
The Deep Dive
Forma biliniară simetrică asociată se poate obține prin aplicarea definiției, în care termenii quadratici sunt organizați astfel încât să formăm o matrice simetrică. În cazul de față, putem să scriem matricea asociată a formei pătratice sub formă de . Această matrice este obținută prin gruparea termenilor în funcție de .
Pentru a aduce forma pătratică la o formă canonică, putem efectua diagonalizarea matricei asociate . Calculând valorile proprii și vectorii proprii, vom obține o bază a formei canonice. În acest caz, rația formei poate varia, având în vedere valoarea determinantului. Rangul formei este 3, deoarece matricea are 3 valori proprii nenule. Acest lucru ne va ajuta să stabilim dacă există vectori pentru care condițiile impuse sunt satisfăcute.
Pentru a găsi vectorii doriti, observăm că putem lua, de exemplu, , pentru care . Pentru , putem alege vectorul , unde , iar un exemplu pentru poate fi , unde . În urma analizei, putem concluziona că forma nu este pozitiv definită, deoarece există vectori pentru care este negativ.