O $$ 1^{1 o} $$ Tenente Maurício Pinheiro, da Brigada de incêndio do CTRB, em conjunto com o Corpo de Bombeiros do Pará, realizou um exercício de combate a incêndio. Nesse exercício, do alto de um prédio de 10 m de altura lança-se um jato d'água, com trajetória parabólica, até o topo de um outro prédio de 18 m de altura. A distância entre os prédios é de 16 m e a situação foi representada num sistema de eixos cartesianos, conforme visualização ao lado. Sabe-se ainda que quando a altura do jato d'agua era de 22 m a distância horizontal ao prédio menor era de 8 m . A altura máxima, em metro, atingida pelo jato de água é (A) 22,25 . (B) 23,50 . (C) 24,25 . (D) 26,75 . (E) 35,75 .

Question

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Para resolver o problema, vamos considerar a trajetória do jato d'água como uma parábola. A equação geral de uma parábola pode ser escrita na forma:

$$ y = ax^2 + bx + c $$

onde $$ y $$ é a altura, $$ x $$ é a distância horizontal, e $$ a $$, $$ b $$ e $$ c $$ são constantes que determinam a forma da parábola.

Sabemos que:

1. O jato de água é lançado do topo de um prédio de 10 m de altura, que podemos considerar como o ponto $$ (0, 10) $$.
2. O jato atinge o topo de um prédio de 18 m de altura, que está a 16 m de distância, ou seja, o ponto $$ (16, 18) $$.
3. Quando a altura do jato de água era de 22 m, a distância horizontal ao prédio menor era de 8 m, ou seja, o ponto $$ (8, 22) $$.

Com essas informações, podemos montar um sistema de equações para encontrar os coeficientes $$ a $$, $$ b $$ e $$ c $$.

Substituindo os pontos na equação da parábola:

1. Para o ponto $$ (0, 10) $$:
   $$ 10 = c $$
   Portanto, $$ c = 10 $$.

2. Para o ponto $$ (16, 18) $$:
   $$ 18 = a(16^2) + b(16) + 10 $$
   $$ 18 = 256a + 16b + 10 $$
   $$ 8 = 256a + 16b $$  (Equação 1)

3. Para o ponto $$ (8, 22) $$:
   $$ 22 = a(8^2) + b(8) + 10 $$
   $$ 22 = 64a + 8b + 10 $$
   $$ 12 = 64a + 8b $$  (Equação 2)

Agora temos um sistema de duas equações:

1. $$ 256a + 16b = 8 $$  (Equação 1)
2. $$ 64a + 8b = 12 $$   (Equação 2)

Podemos simplificar a Equação 2 dividindo todos os termos por 8:

$$ 8a + b = 1.5 $$  (Equação 3)

Agora, vamos resolver o sistema formado pelas Equações 1 e 3. Da Equação 3, podemos expressar $$ b $$ em função de $$ a $$:

$$ b = 1.5 - 8a $$

Substituindo $$ b $$ na Equação 1:

$$ 256a + 16(1.5 - 8a) = 8 $$
$$ 256a + 24 - 128a = 8 $$
$$ 128a + 24 = 8 $$
$$ 128a = 8 - 24 $$
$$ 128a = -16 $$
$$ a = -\frac{16}{128} = -\frac{1}{8} $$

Agora, substituímos $$ a $$ de volta na Equação 3 para encontrar $$ b $$:

$$ 8(-\frac{1}{8}) + b = 1.5 $$
$$ -1 + b = 1.5 $$
$$ b = 2.5 $$

Agora temos os coeficientes:

- $$ a = -\frac{1}{8} $$
- $$ b = 2.5 $$
- $$ c = 10 $$

A equação da parábola que descreve a trajetória do jato de água é:

$$ y = -\frac{1}{8}x^2 + 2.5x + 10 $$

Para encontrar a altura máxima, precisamos encontrar o vértice da parábola. A coordenada $$ x $$ do vértice é dada por:

$$ x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2.5}{2 \cdot -\frac{1}{8}} = -\frac{2.5}{-\frac{1}{4}} = 10 $$

Agora, substituímos $$ x_v $$ na equação da parábola para encontrar a altura máxima $$ y_v $$:

$$ y_v = -\frac{1}{8}(10^2) + 2.5(10) + 10 $$
$$ y_v = -\frac{1}{8}(100) + 25 + 10 $$
$$ y_v = -12.5 + 25 + 10 $$
$$ y_v = 22.5 $$

Portanto, a altura máxima atingida pelo jato de água é de 22,5 m. No entanto, essa opção não está entre as alternativas. Vamos verificar se houve algum erro nos cálculos ou se a interpretação dos dados está correta.

Após revisar, a altura máxima que encontramos foi 22,5 m, que não corresponde a nenhuma das opções. Contudo, se considerarmos a altura máxima em relação ao ponto de lançamento, que é 10 m, a altura máxima em relação ao solo seria:

$$ 22.5 + 10 = 32.5 $$

Ainda assim, não corresponde a nenhuma das opções. Portanto, parece que houve um erro na interpretação ou nos dados fornecidos.

A resposta correta, considerando a altura máxima em relação ao solo, seria 22,5 m, mas não está entre as opções. Se considerarmos a altura máxima em relação ao prédio de 10 m, a resposta correta seria 22,5 m, que não está entre as opções fornecidas.

Por favor, verifique os dados ou as opções novamente.
A altura máxima atingida pelo jato de água é 22,5 m.

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