$$ \begin{array}{l} ext { trans formacio de una } \ ext { evación rectangular a polar } \ x^{2}-y^{2}=3 x\end{array} $$

Question

$$ \begin{array}{l}	ext { trans formacio de una } \ 	ext { evación rectangular a polar } \ x^{2}-y^{2}=3 x\end{array} $$

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Claro, para transformar la ecuación rectangular $$ x^2 - y^2 = 3x $$ a la forma polar, utilizamos las relaciones entre las coordenadas cartesianas $$ (x, y) $$ y las coordenadas polares $$ (r, \theta) $$:

$$ x = r \cos \theta $$
$$ y = r \sin \theta $$

Reemplazamos $$ x $$ y $$ y $$ en la ecuación rectangular con las expresiones en coordenadas polares:

$$ (r \cos \theta)^2 - (r \sin \theta)^2 = 3(r \cos \theta) $$

Expansionemos y simplifiquemos:

$$ r^2 \cos^2 \theta - r^2 \sin^2 \theta = 3r \cos \theta $$

Dividimos toda la ecuación por $$ r $$ (asumiendo que $$ r \neq 0 $$):

$$ r \cos^2 \theta - r \sin^2 \theta = 3 \cos \theta $$

Podemos factorizar $$ r $$ de la izquierda:

$$ r (\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) = 3 \cos \theta $$

Recordamos el identities $$ \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = \cos 2\theta $$:

$$ r \cos 2\theta = 3 \cos \theta $$

Entonces, la ecuación en coordenadas polares es:

$$ r \cos 2\theta = 3 \cos \theta $$

Esta es la transformación de la ecuación rectangular $$ x^2 - y^2 = 3x $$ a la forma polar.
La ecuación rectangular $$ x^2 - y^2 = 3x $$ se convierte a la forma polar como $$ r \cos 2\theta = 3 \cos \theta $$.

$ó$

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