Eequence 1 Series 1. Given: $$ 3-6 x+12 x^{2}-24 x^{3}+\ldots $$ 1.) Determice the value(s) of $$ x $$ for which the series will converge (4) 1.2 Calculate the value of $$ x $$ $$ \text { if } S_{\infty}=99 $$ 2 Given the convergent geometrie senes. $$ 7 x ; x^{2} ; \frac{x^{3}}{7} $$; 2. 1 Letermine the possible valne(s) of $$ x $$ (3) 22 If $$ x=4 $$, cu'culate $$ S_{\infty} $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Vamos resolver cada uma das questões apresentadas passo a passo.

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### **1. Série: $$ 3 - 6x + 12x^2 - 24x^3 + \ldots $$**

Esta é uma **série geométrica** onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante $$ r $$.

#### **1.1. Determinar o valor(s) de $$ x $$ para os quais a série converge**

Primeiro, identificamos o primeiro termo $$ a $$ e a razão $$ r $$:

- **Primeiro termo ($$ a $$)**: $$ 3 $$
- **Razão ($$ r $$)**: 
  $$
  r = \frac{\text{Termo seguinte}}{\text{Termo anterior}} = \frac{-6x}{3} = -2x
  $$

Para que uma série geométrica infinita convirja, a condição é:
$$
|r| < 1 \implies |-2x| < 1 \implies |x| < \frac{1}{2}
$$

**Resposta:** A série converge para valores de $$ x $$ tais que $$ |x| < \frac{1}{2} $$, ou seja, $$ -\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2} $$.

#### **1.2. Calcular o valor de $$ x $$ se $$ S_{\infty} = 99 $$**

A soma da série infinita $$ S_{\infty} $$ de uma série geométrica é dada por:
$$
S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}
$$
Substituindo os valores conhecidos:
$$
99 = \frac{3}{1 - (-2x)} = \frac{3}{1 + 2x}
$$
Resolvendo para $$ x $$:
$$
1 + 2x = \frac{3}{99} \implies 1 + 2x = \frac{1}{33} \implies 2x = \frac{1}{33} - 1 = -\frac{32}{33} \implies x = -\frac{16}{33}
$$
Verificamos a condição de convergência $$ |x| < \frac{1}{2} $$:
$$
\left| -\frac{16}{33} \right| \approx 0,4849 < 0,5 \quad \text{(válido)}
$$

**Resposta:** $$ x = -\frac{16}{33} $$

---

### **2. Série Geométrica: $$ 7x; \, x^2; \, \frac{x^3}{7}; \ldots $$**

#### **2.1. Determinar os possíveis valores de $$ x $$**

Identificamos o primeiro termo $$ a $$ e a razão $$ r $$:

- **Primeiro termo ($$ a $$)**: $$ 7x $$
- **Razão ($$ r $$)**:
  $$
  r = \frac{\text{Termo seguinte}}{\text{Termo anterior}} = \frac{x^2}{7x} = \frac{x}{7}
  $$

Para a série convergir:
$$
|r| < 1 \implies \left| \frac{x}{7} \right| < 1 \implies |x| < 7
$$

**Resposta:** Para a série convergir, $$ x $$ deve satisfazer $$ |x| < 7 $$.

#### **2.2. Calcular $$ S_{\infty} $$ se $$ x = 4 $$**

Primeiro, verificamos a condição de convergência:
$$
|4| = 4 < 7 \quad \text{(válido)}
$$

Calculamos a soma infinita:
$$
S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} = \frac{7x}{1 - \frac{x}{7}} = \frac{7 \times 4}{1 - \frac{4}{7}} = \frac{28}{\frac{3}{7}} = 28 \times \frac{7}{3} = \frac{196}{3}
$$

**Resposta:** $$ S_{\infty} = \frac{196}{3} $$

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**Resumo das Respostas:**

1. **1.1.** A série converge para $$ |x| < \frac{1}{2} $$.

2. **1.2.** $$ x = -\frac{16}{33} $$.

3. **2.1.** Os valores possíveis de $$ x $$ satisfazem $$ |x| < 7 $$.

4. **2.2.** Quando $$ x = 4 $$, a soma $$ S_{\infty} = \frac{196}{3} $$.
**Respostas Simplificadas:** 1. **1.1.** A série converge para $$ |x| < \frac{1}{2} $$. 2. **1.2.** $$ x = -\frac{16}{33} $$. 3. **2.1.** $$ |x| < 7 $$. 4. **2.2.** $$ S_{\infty} = \frac{196}{3} $$ quando $$ x = 4 $$.

Eequence 1 Series

Given:
1.) Determice the value(s) of for which the series will converge (4)
1.2 Calculate the value of

2 Given the convergent geometrie senes. ;
2. 1 Letermine the possible valne(s) of (3)

22 If , cu’culate

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