Eequence 1 Series 1. Given: \( 3-6 x+12 x^{2}-24 x^{3}+\ldots \) 1.) Determice the value(s) of \( x \) for which the series will converge (4) 1.2 Calculate the value of \( x \) \[ \text { if } S_{\infty}=99 \] 2 Given the convergent geometrie senes. \( 7 x ; x^{2} ; \frac{x^{3}}{7} \); 2. 1 Letermine the possible valne(s) of \( x \) (3) 22 If \( x=4 \), cu'culate \( S_{\infty} \)

Vamos resolver cada uma das questões apresentadas passo a passo. --- ### **1. Série: \( 3 - 6x + 12x^2 - 24x^3 + \ldots \)** Esta é uma **série geométrica** onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante \( r \). #### **1.1. Determinar o valor(s) de \( x \) para os quais a série converge** Primeiro, identificamos o primeiro termo \( a \) e a razão \( r \): - **Primeiro termo (\( a \))**: \( 3 \) - **Razão (\( r \))**: \[ r = \frac{\text{Termo seguinte}}{\text{Termo anterior}} = \frac{-6x}{3} = -2x \] Para que uma série geométrica infinita convirja, a condição é: \[ |r| < 1 \implies |-2x| < 1 \implies |x| < \frac{1}{2} \] **Resposta:** A série converge para valores de \( x \) tais que \( |x| < \frac{1}{2} \), ou seja, \( -\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2} \). #### **1.2. Calcular o valor de \( x \) se \( S_{\infty} = 99 \)** A soma da série infinita \( S_{\infty} \) de uma série geométrica é dada por: \[ S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} \] Substituindo os valores conhecidos: \[ 99 = \frac{3}{1 - (-2x)} = \frac{3}{1 + 2x} \] Resolvendo para \( x \): \[ 1 + 2x = \frac{3}{99} \implies 1 + 2x = \frac{1}{33} \implies 2x = \frac{1}{33} - 1 = -\frac{32}{33} \implies x = -\frac{16}{33} \] Verificamos a condição de convergência \( |x| < \frac{1}{2} \): \[ \left| -\frac{16}{33} \right| \approx 0,4849 < 0,5 \quad \text{(válido)} \] **Resposta:** \( x = -\frac{16}{33} \) --- ### **2. Série Geométrica: \( 7x; \, x^2; \, \frac{x^3}{7}; \ldots \)** #### **2.1. Determinar os possíveis valores de \( x \)** Identificamos o primeiro termo \( a \) e a razão \( r \): - **Primeiro termo (\( a \))**: \( 7x \) - **Razão (\( r \))**: \[ r = \frac{\text{Termo seguinte}}{\text{Termo anterior}} = \frac{x^2}{7x} = \frac{x}{7} \] Para a série convergir: \[ |r| < 1 \implies \left| \frac{x}{7} \right| < 1 \implies |x| < 7 \] **Resposta:** Para a série convergir, \( x \) deve satisfazer \( |x| < 7 \). #### **2.2. Calcular \( S_{\infty} \) se \( x = 4 \)** Primeiro, verificamos a condição de convergência: \[ |4| = 4 < 7 \quad \text{(válido)} \] Calculamos a soma infinita: \[ S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} = \frac{7x}{1 - \frac{x}{7}} = \frac{7 \times 4}{1 - \frac{4}{7}} = \frac{28}{\frac{3}{7}} = 28 \times \frac{7}{3} = \frac{196}{3} \] **Resposta:** \( S_{\infty} = \frac{196}{3} \) --- **Resumo das Respostas:** 1. **1.1.** A série converge para \( |x| < \frac{1}{2} \). 2. **1.2.** \( x = -\frac{16}{33} \). 3. **2.1.** Os valores possíveis de \( x \) satisfazem \( |x| < 7 \). 4. **2.2.** Quando \( x = 4 \), a soma \( S_{\infty} = \frac{196}{3} \).