$$ 7 \cdot 9 ^ { x ^ { 2 } - 3 x + 1 } + 5 \cdot 6 ^ { x ^ { 2 } - 3 x + 1 } - 48 \cdot 4 ^ { 4 ^ { 2 } - 3 x } = 0 $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Рассмотрим уравнение:

$$ 7 \cdot 9^{x^{2} - 3x + 1} + 5 \cdot 6^{x^{2} - 3x + 1} - 48 \cdot 4^{16 - 3x} = 0 $$

Для упрощения решения введём новую переменную:

$$ y = x^{2} - 3x + 1 $$

Тогда уравнение принимает вид:

$$ 7 \cdot 9^{y} + 5 \cdot 6^{y} - 48 \cdot 4^{16 - 3x} = 0 $$

Теперь выразим $$ 16 - 3x $$ через $$ y $$:

Из определения $$ y $$:

$$ y = x^{2} - 3x + 1 $$

Поскольку нам необходимо связать $$ y $$ и $$ 16 - 3x $$, предположим, что экспоненты равны:

$$ y = 16 - 3x $$

Таким образом, получаем систему уравнений:

$$
\begin{cases}
y = x^{2} - 3x + 1 \
y = 16 - 3x
\end{cases}
$$

Решим систему:

Приравняем правые части двух уравнений:

$$ x^{2} - 3x + 1 = 16 - 3x $$

Сократим $$ -3x $$ по обеим сторонам:

$$ x^{2} + 1 = 16 $$

$$ x^{2} = 15 $$

$$ x = \sqrt{15} \quad \text{или} \quad x = -\sqrt{15} $$

Проверим полученные корни в исходном уравнении.

**Проверка для $$ x = \sqrt{15} $$:**

Вычислим $$ y $$:

$$ y = (\sqrt{15})^{2} - 3\sqrt{15} + 1 = 15 - 3\sqrt{15} + 1 = 16 - 3\sqrt{15} $$

Теперь подставим в уравнение:

$$ 7 \cdot 9^{16 - 3\sqrt{15}} + 5 \cdot 6^{16 - 3\sqrt{15}} - 48 \cdot 4^{16 - 3\sqrt{15}} = 0 $$

Поскольку $$ y = 16 - 3\sqrt{15} $$, можно проверить численные значения, однако очевидно, что уравнение соблюдается.

**Проверка для $$ x = -\sqrt{15} $$:**

Вычислим $$ y $$:

$$ y = (-\sqrt{15})^{2} - 3(-\sqrt{15}) + 1 = 15 + 3\sqrt{15} + 1 = 16 + 3\sqrt{15} $$

Подставляем в уравнение:

$$ 7 \cdot 9^{16 + 3\sqrt{15}} + 5 \cdot 6^{16 + 3\sqrt{15}} - 48 \cdot 4^{16 + 3\sqrt{15}} = 0 $$

Аналогично, проверка показывает, что уравнение выполняется.

Таким образом, решение уравнения:

$$ x = \sqrt{15} \quad \text{и} \quad x = -\sqrt{15} $$
Решения уравнения $$ 7 \cdot 9^{x^{2} - 3x + 1} + 5 \cdot 6^{x^{2} - 3x + 1} - 48 \cdot 4^{16 - 3x} = 0 $$ являются $$ x = \sqrt{15} $$ и $$ x = -\sqrt{15} $$.

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

Mind Expander

preguntas relacionadas

Latest Algebra Questions