58 Seja \( f \) a função real de variável real definida por \( f(x)=\sin \left(x-\frac{5 \pi}{2}\right)+3 \). 58.1 Justifica que \( f(x)=3-\cos x \). 58.2 Mostra que \( 2 \pi \) é periodo da função \( f \). 58.3 Determina o contradomínio de \( f \). 58.4 Estuda a monotonia da função \( f \) no intervalo \( [-\pi, 2 \pi] \). 58.5 Esboça o gráfico de \( f \) no intervalo \( [-\pi, 2 \pi] \).

Claro! Vamos resolver cada uma das partes do exercício passo a passo. --- ### **58.1 Justifica que \( f(x)=3-\cos x \)** **Solução:** Temos a função: \[ f(x) = \sin\left(x - \frac{5\pi}{2}\right) + 3 \] Vamos simplificar a expressão dentro do seno: Sabemos que: \[ \sin\left(x - \frac{5\pi}{2}\right) = \sin\left(x - 2\pi - \frac{\pi}{2}\right) \] Como \(\sin(\theta - 2\pi) = \sin \theta\), temos: \[ \sin\left(x - 2\pi - \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) \] Usando a identidade trigonométrica: \[ \sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = -\cos x \] Portanto: \[ f(x) = -\cos x + 3 = 3 - \cos x \] **Conclusão:** \[ f(x) = 3 - \cos x \] --- ### **58.2 Mostra que \( 2 \pi \) é período da função \( f \)** **Solução:** Uma função \( f(x) \) é periódica de período \( T \) se: \[ f(x + T) = f(x) \quad \forall x \in \mathbb{R} \] Para \( f(x) = 3 - \cos x \), verificamos se \( T = 2\pi \) satisfaz a condição: \[ f(x + 2\pi) = 3 - \cos(x + 2\pi) = 3 - \cos x = f(x) \] Como a igualdade é verdadeira para todo \( x \), concluímos que \( 2\pi \) é período de \( f \). **Conclusão:** O período da função \( f \) é \( 2\pi \). --- ### **58.3 Determina o contradomínio de \( f \)** **Solução:** O contradomínio de \( f(x) = 3 - \cos x \) depende dos valores que \( \cos x \) pode assumir. Sabemos que: \[ -1 \leq \cos x \leq 1 \] Multiplicando por \(-1\): \[ -1 \leq -\cos x \leq 1 \quad \Rightarrow \quad -1 \leq -\cos x \leq 1 \] Somando 3: \[ 3 - 1 \leq 3 - \cos x \leq 3 + 1 \quad \Rightarrow \quad 2 \leq f(x) \leq 4 \] **Conclusão:** O contradomínio de \( f \) é o intervalo \([2, 4]\). --- ### **58.4 Estuda a monotonia da função \( f \) no intervalo \( [-\pi, 2\pi] \)** **Solução:** Primeiro, determinamos a derivada de \( f \) para estudar sua monotonia. Temos: \[ f(x) = 3 - \cos x \] \[ f'(x) = \sin x \] Analisamos \( f'(x) \) no intervalo \( [-\pi, 2\pi] \): - \( f'(x) = \sin x > 0 \) quando \( \sin x > 0 \) - \( f'(x) = \sin x < 0 \) quando \( \sin x < 0 \) - \( f'(x) = 0 \) quando \( \sin x = 0 \) Os pontos críticos no intervalo são onde \( \sin x = 0 \): \[ x = -\pi, 0, \pi, 2\pi \] Agora, analisamos os intervalos entre esses pontos: 1. **Intervalo \([- \pi, 0)\):** \[ \sin x < 0 \quad \Rightarrow \quad f'(x) < 0 \] A função é decrescente. 2. **Intervalo \((0, \pi)\):** \[ \sin x > 0 \quad \Rightarrow \quad f'(x) > 0 \] A função é crescente. 3. **Intervalo \((\pi, 2\pi)\):** \[ \sin x < 0 \quad \Rightarrow \quad f'(x) < 0 \] A função é decrescente. **Conclusão:** - **Decrescente** em \([- \pi, 0)\) e \((\pi, 2\pi)\) - **Crescente** em \((0, \pi)\) --- ### **58.5 Esboça o gráfico de \( f \) no intervalo \( [-\pi, 2\pi] \)** **Solução:** Vamos descrever as características essenciais do gráfico de \( f(x) = 3 - \cos x \) no intervalo \([-π, 2π]\): 1. **Período:** \( 2\pi \) 2. **Amplitude:** 1 (variação de \(-\cos x\)) 3. **Valor médio:** 3 4. **Extremos:** - Máximo em \( f(x) = 4 \) quando \( \cos x = -1 \) (pontos: \( x = \pi \)) - Mínimo em \( f(x) = 2 \) quando \( \cos x = 1 \) (pontos: \( x = 0, 2\pi \)) 5. **Monotonia:** - Decrescente em \([-π, 0)\) e \((\pi, 2π)\) - Crescente em \((0, \pi)\) **Descrição do Gráfico:** - **Ponto em \( x = -\pi \):** \[ f(-\pi) = 3 - \cos(-\pi) = 3 - (-1) = 4 \] - **Ponto em \( x = 0 \):** \[ f(0) = 3 - \cos 0 = 3 - 1 = 2 \] - **Ponto em \( x = \pi \):** \[ f(\pi) = 3 - \cos \pi = 3 - (-1) = 4 \] - **Ponto em \( x = 2\pi \):** \[ f(2\pi) = 3 - \cos 2\pi = 3 - 1 = 2 \] **Esboço:** Para esboçar o gráfico, considere os seguintes pontos e o comportamento entre eles: 1. **De \(-\pi\) a \(0\):** Função decrescente de 4 a 2. 2. **De \(0\) a \(\pi\):** Função crescente de 2 a 4. 3. **De \(\pi\) a \(2\pi\):** Função decrescente de 4 a 2. **Gráfico Aproximado:** ``` f(x) | 4 | * * | / \ / \ 3 | / \ / \ | / \ / \ 2 |--*-------*--------*-------*--- -π 0 π 2π x ``` **Legenda:** - *Pontos:* \((-π, 4)\), \((0,2)\), \((\pi,4)\), \((2π,2)\) - *Curvas:* Senoide invertida deslocada verticalmente para cima em 3 unidades. ---