a $$ \frac{5}{x}+\frac{2 x}{x+3}=\frac{3 x-1}{x} $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Vi har likningen
$$
\frac{5}{x}+\frac{2x}{x+3}=\frac{3x-1}{x}.
$$

### Steg 1: Finn fellesnevneren
Nevnerne er $$ x $$ og $$ x+3 $$, så fellesnevneren er $$ x(x+3) $$. Merk at $$ x \neq 0 $$ og $$ x \neq -3 $$.

### Steg 2: Multipliser hele likningen med fellesnevneren
Vi multipliserer med $$ x(x+3) $$:
$$
x(x+3)\left(\frac{5}{x}+\frac{2x}{x+3}\right)=x(x+3)\left(\frac{3x-1}{x}\right).
$$

### Steg 3: Forenkle begge ledd
Når vi multipliserer ut, får vi:
- $$ x(x+3) \cdot \frac{5}{x} = 5(x+3) $$
- $$ x(x+3) \cdot \frac{2x}{x+3} = 2x^2 $$
- $$ x(x+3) \cdot \frac{3x-1}{x} = (3x-1)(x+3) $$

Likningen blir da:
$$
5(x+3) + 2x^2 = (3x-1)(x+3).
$$

### Steg 4: Utvid begge sider
Utvid venstresiden:
$$
5(x+3) + 2x^2 = 5x + 15 + 2x^2.
$$

Utvid høyresiden:
$$
(3x-1)(x+3)=3x(x+3)-1(x+3) = 3x^2+9x-x-3 = 3x^2+8x-3.
$$

Likningen blir dermed:
$$
2x^2+5x+15 = 3x^2+8x-3.
$$

### Steg 5: Sett likningen på null
Trekk $$ 3x^2+8x-3 $$ fra begge sider:
$$
2x^2+5x+15 - 3x^2-8x+3 = 0.
$$
Forenkle:
$$
-x^2 - 3x + 18 = 0.
$$

Multiplikasjon med $$-1$$ gir:
$$
x^2 + 3x - 18 = 0.
$$

### Steg 6: Løs den kvadratiske likningen
Bruk formelen:
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a},
$$
med $$a=1$$, $$b=3$$ og $$c=-18$$.

Beregne diskriminanten:
$$
\Delta = b^2-4ac = 3^2 - 4(1)(-18) = 9 + 72 = 81.
$$

Finn kvadratroten:
$$
\sqrt{81}=9.
$$

Løsningene blir:
$$
x = \frac{-3 \pm 9}{2}.
$$

Finner de to løsningene:
$$
x = \frac{-3+9}{2} = 3
$$
og
$$
x = \frac{-3-9}{2} = -6.
$$

### Steg 7: Kontroller betingelsene
Vi må huske at $$ x \neq 0 $$ og $$ x \neq -3 $$. Begge løsningene $$ x=3 $$ og $$ x=-6 $$ oppfyller dette.

### Svar
$$
x = 3 \quad \text{eller} \quad x = -6.
$$
$$ x = 3 $$ eller $$ x = -6 $$.

a

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

Beyond the Answer

preguntas relacionadas

Latest Algebra Questions