\( \frac{1}{2}\left[\begin{array}{c}{2(\frac{x+3}{5})+\frac{6x}{7}}\end{array}\right]-\frac{x}{4}=0 \)

Para resolver la ecuación: \[ \frac{1}{2}\left[2\left(\frac{x+3}{5}\right) + \frac{6x}{7}\right] - \frac{x}{4} = 0 \] **Pasos de la solución:** 1. **Simplificar dentro de los corchetes:** \[ 2\left(\frac{x+3}{5}\right) = \frac{2x + 6}{5} \] Entonces, la ecuación se convierte en: \[ \frac{1}{2} \left( \frac{2x + 6}{5} + \frac{6x}{7} \right) - \frac{x}{4} = 0 \] 2. **Encontrar un denominador común para las fracciones dentro de los corchetes:** El denominador común entre 5 y 7 es 35. \[ \frac{2x + 6}{5} = \frac{(2x + 6) \cdot 7}{35} = \frac{14x + 42}{35} \] \[ \frac{6x}{7} = \frac{6x \cdot 5}{35} = \frac{30x}{35} \] 3. **Sumar las fracciones dentro de los corchetes:** \[ \frac{14x + 42}{35} + \frac{30x}{35} = \frac{44x + 42}{35} \] 4. **Multiplicar por \(\frac{1}{2}\):** \[ \frac{1}{2} \cdot \frac{44x + 42}{35} = \frac{44x + 42}{70} \] La ecuación ahora es: \[ \frac{44x + 42}{70} - \frac{x}{4} = 0 \] 5. **Eliminar los denominadores multiplicando toda la ecuación por 140 (mínimo común múltiplo de 70 y 4):** \[ 140 \cdot \frac{44x + 42}{70} - 140 \cdot \frac{x}{4} = 0 \cdot 140 \] Simplificando: \[ 2(44x + 42) - 35x = 0 \] \[ 88x + 84 - 35x = 0 \] 6. **Combinar términos semejantes:** \[ 53x + 84 = 0 \] 7. **Resolver para \(x\):** \[ 53x = -84 \] \[ x = -\frac{84}{53} \] **Respuesta final:** \[ x = -\frac{84}{53} \]