363. V pravilnem šestkotniku \( A B C D E F \) s stranico a narišite vektorja \( \overline{F B} \) in \( \overrightarrow{D F} \) ter ju izrazite z vektorjema \( \vec{a}=\overrightarrow{D E} \) in \( \bar{b}=\overrightarrow{C B} \). Koliko meri kot med vektorjema \( \overrightarrow{F B} \) in \( \overrightarrow{D F} \) ?

Da rešimo problem, najprej definiramo točke pravilnega šestkotnika \( A B C D E F \) in njihove koordinate. V pravilnem šestkotniku so točke razporejene enakomerno okoli izhodišča. Predpostavimo, da je središče šestkotnika v izhodišču in da je stranica \( a \). Koordinate točk so: - \( A( a, 0) \) - \( B\left( \frac{a}{2}, \frac{a \sqrt{3}}{2} \right) \) - \( C\left( -\frac{a}{2}, \frac{a \sqrt{3}}{2} \right) \) - \( D(-a, 0) \) - \( E\left( -\frac{a}{2}, -\frac{a \sqrt{3}}{2} \right) \) - \( F\left( \frac{a}{2}, -\frac{a \sqrt{3}}{2} \right) \) Sedaj bomo izračunali vektorje \( \overline{F B} \) in \( \overrightarrow{D F} \). 1. **Izračunajmo vektor \( \overline{F B} \)**: \[ \overline{F B} = B - F = \left( \frac{a}{2}, \frac{a \sqrt{3}}{2} \right) - \left( \frac{a}{2}, -\frac{a \sqrt{3}}{2} \right) = \left( 0, a \sqrt{3} \right) \] 2. **Izračunajmo vektor \( \overrightarrow{D F} \)**: \[ \overrightarrow{D F} = F - D = \left( \frac{a}{2}, -\frac{a \sqrt{3}}{2} \right) - (-a, 0) = \left( \frac{a}{2} + a, -\frac{a \sqrt{3}}{2} \right) = \left( \frac{3a}{2}, -\frac{a \sqrt{3}}{2} \right) \] 3. **Izrazimo vektorje \( \overline{F B} \) in \( \overrightarrow{D F} \) z vektorjema \( \vec{a} = \overrightarrow{D E} \) in \( \bar{b} = \overrightarrow{C B} \)**: - Vektor \( \vec{a} = \overrightarrow{D E} = E - D = \left( -\frac{a}{2}, -\frac{a \sqrt{3}}{2} \right) - (-a, 0) = \left( \frac{a}{2}, -\frac{a \sqrt{3}}{2} \right) \) - Vektor \( \bar{b} = \overrightarrow{C B} = B - C = \left( \frac{a}{2}, \frac{a \sqrt{3}}{2} \right) - \left( -\frac{a}{2}, \frac{a \sqrt{3}}{2} \right) = \left( a, 0 \right) \) Sedaj lahko izrazimo vektorje \( \overline{F B} \) in \( \overrightarrow{D F} \): - \( \overline{F B} = \bar{b} \cdot \sqrt{3} \) - \( \overrightarrow{D F} = \frac{3}{2} \vec{a} + \bar{b} \) 4. **Izračunajmo kot med vektorjema \( \overrightarrow{F B} \) in \( \overrightarrow{D F} \)**: Kot med dvema vektorjema \( \vec{u} \) in \( \vec{v} \) lahko izračunamo s formulo: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} \] Izračunajmo dolžine vektorjev in njihov skalarni produkt: - Dolžina \( \overline{F B} \): \[ |\overline{F B}| = a \sqrt{3} \] - Dolžina \( \overrightarrow{D F} \): \[ |\overrightarrow{D F}| = \sqrt{\left( \frac{3a}{2} \right)^2 + \left( -\frac{a \sqrt{3}}{2} \right)^2} = \sqrt{\frac{9a^2}{4} + \frac{3a^2}{4}} = \sqrt{3a^2} = a \sqrt{3} \] - Skalarni produkt: \[ \overline{F B} \cdot \overrightarrow{D F} = (0, a \sqrt{3}) \cdot \left( \frac{3a}{2}, -\frac{a \sqrt{3}}{2} \right) = 0 \cdot \frac{3a}{2} + a \sqrt{3} \cdot \left( -\frac{a \sqrt{3}}{2} \right) = -\frac{3a^2}{2} \] Sedaj lahko izračunamo kot: \[ \cos(\theta) = \frac{-\frac{3a^2}{2}}{(a \sqrt{3})(a \sqrt{3})} = \frac{-\frac{3a^2}{2}}{3a^2} = -\frac{1}{2} \] Zato je: \[ \theta = \cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = 120^\circ \] Tako kot med vektorjema \( \overrightarrow{F B} \) in \( \overrightarrow{D F} \) meri \( 120^\circ \).