Esercizio 1. Si costruisca, se possibile, un endomorfismo \( F \) di \( \mathbb{R}^{4} \) che abbia come nucleo il sottospazio \[ U=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} \mid x+y-z+t=x+z+t=0\right\} \] e come immagine il sottospazio \[ V=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} \mid x-2 y-z+t=x-y=0\right\} \] calcolando esplicitamente la sua espressione \( F(x, y, z, t) \)

Per costruire un endomorfismo \( F: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^4 \) con il nucleo \( U \) e l'immagine \( V \), dobbiamo prima determinare delle basi per entrambi i sottospazi e poi utilizzare queste basi per definire \( F \). ### Nucleo \( U \) Le equazioni che definiscono \( U \) sono: 1. \( x + y - z + t = 0 \) 2. \( x + z + t = 0 \) Possiamo risolvere queste equazioni. Dalla seconda equazione otteniamo \( t = -x - z \). Sostituendo questo nella prima, otteniamo: \[ x + y - z - x - z = 0 \implies y - 2z = 0 \implies y = 2z \] Così possiamo esprimere gli elementi di \( U \) in termini di \( z \): \[ (x, y, z, t) = (x, 2z, z, -x - z). \] Scegliamo \( z = 1 \) e \( x = 0 \): \[ (0, 2, 1, -1) \] Scegliamo ora \( z = 0 \): \[ (1, 0, 0, -1) \implies \text{il nostro nucleo ha base } \{(0, 2, 1, -1), (1, 0, 0, -1)\}. \] ### Immagine \( V \) Le equazioni che definiscono \( V \) sono: 1. \( x - 2y - z + t = 0 \) 2. \( x - y = 0 \) Dalla seconda equazione otteniamo \( x = y \). Sostituendo nella prima: \[ y - 2y - z + t = 0 \implies -y - z + t = 0 \implies t = y + z. \] Quindi, expressiamo gli elementi di \( V \) in termini di \( y \) e \( z \): \[ (x, y, z, t) = (y, y, z, y + z) \implies (y, y, z, y + z). \] Scegliamo \( y=1, z=0 \): \[ (1, 1, 0, 1) \] E ora \( y=0, z=1 \): \[ (0, 0, 1, 1) \implies \text{il nostro immagine ha base } \{(1, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 1)\}. \] ### Definizione di \( F \) Ora costruiamo un endomorfismo \( F \) che manda la base di \( U \) in quella di \( V \). Possiamo definirlo su 2 vettori in modo lineare: \[ F(1, 0, 0, -1) = (1, 1, 0, 1) \] \[ F(0, 2, 1, -1) = (0, 0, 1, 1). \] Combinando, possiamo scrivere la matrice associata a \( F \): \[ F(x, y, z, t) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ t \end{pmatrix} \] Quindi, \( F \) si espande come segue: \[ F(x, y, z, t) = (x+y, x+y, z+t, x+y+z+t). \] ### Risultato Finale L'endomorfismo \( F \) costruito ha come nucleo il sottospazio \( U \) e come immagine il sottospazio \( V \), e la sua espressione è: \[ F(x, y, z, t) = (x+y, x+y, z+t, x+y+z+t). \]