\( \frac{\text { Calculer les intégrales s }}{\text { a. } \int_{0}^{\ln 2} \frac{e^{-x}}{e^{-x}+4} d x} \)

Pour calculer l'intégrale suivante : \[ \int_{0}^{\ln 2} \frac{e^{-x}}{e^{-x} + 4} \, dx \] **Étapes de calcul :** 1. **Simplification de l'intégrande :** \[ \frac{e^{-x}}{e^{-x} + 4} = \frac{1}{1 + 4e^{x}} \] 2. **Changement de variable :** Posons \( t = e^{x} \), alors \( dt = e^{x} dx \) ce qui donne \( dx = \frac{dt}{t} \). - Lorsque \( x = 0 \), \( t = e^{0} = 1 \). - Lorsque \( x = \ln 2 \), \( t = e^{\ln 2} = 2 \). L'intégrale devient alors : \[ \int_{1}^{2} \frac{1}{1 + 4t} \cdot \frac{1}{t} \, dt = \int_{1}^{2} \frac{1}{t(1 + 4t)} \, dt \] 3. **Décomposition en fractions partielles :** On cherche à exprimer \( \frac{1}{t(1 + 4t)} \) sous la forme : \[ \frac{A}{t} + \frac{B}{1 + 4t} \] En multipliant par \( t(1 + 4t) \) : \[ 1 = A(1 + 4t) + Bt \] En identifiant les coefficients : \[ \begin{cases} 4A + B = 0 \\ A = 1 \end{cases} \] On trouve \( A = 1 \) et \( B = -4 \). Ainsi : \[ \frac{1}{t(1 + 4t)} = \frac{1}{t} - \frac{4}{1 + 4t} \] 4. **Intégration :** \[ \int_{1}^{2} \left( \frac{1}{t} - \frac{4}{1 + 4t} \right) dt = \left[ \ln t \right]_{1}^{2} - \left[ \ln(1 + 4t) \right]_{1}^{2} \] Calcul des bornes : \[ = (\ln 2 - \ln 1) - (\ln 9 - \ln 5) \] \[ = \ln 2 - (\ln 9 - \ln 5) \] \[ = \ln 2 + \ln 5 - \ln 9 \] \[ = \ln \left( \frac{2 \times 5}{9} \right) \] \[ = \ln \left( \frac{10}{9} \right) \] **Résultat final :** \[ \int_{0}^{\ln 2} \frac{e^{-x}}{e^{-x} + 4} \, dx = \ln \left( \frac{10}{9} \right) \]