4) Dada la función $$ \mathrm{f}: \mathrm{A} \subset \mathrm{R} ightarrow \mathrm{R} $$ definida por: $$ f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}-2 x-8 ; & ext { si }-3 \leq x

Question

4) Dada la función $$ \mathrm{f}: \mathrm{A} \subset \mathrm{R} ightarrow \mathrm{R} $$ definida por: $$ f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}-2 x-8 ; & 	ext { si }-3 \leq x<3 \ -5 x+25 ; & 	ext { si } 4 \leq x \leq 7 \ |x+6| ; 	ext { si }-10 \leq x<-3\end{array}ight. $$ Determine: a) La gráfica de la función; b) Dominio y rango de fes Clasifiquela RAZONADAMENTE y d) Intervalos del dominio donde f es decreciente. (Valor 5 puntos)

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Para graficar la función $$ f(x) $$, debemos considerar cada una de las partes definidas en el dominio:

1. Para $$ -10 \leq x < -3 $$: $$ f(x) = |x + 6| $$
   - Esta es una función lineal a trozos que se comporta como una línea recta con un vértice en $$ x = -6 $$.

2. Para $$ -3 \leq x < 3 $$: $$ f(x) = x^2 - 2x - 8 $$
   - Esta es una parábola que se abre hacia arriba. Para encontrar el vértice, podemos usar la fórmula $$ x = -\frac{b}{2a} $$ donde $$ a = 1 $$ y $$ b = -2 $$.

3. Para $$ 4 \leq x \leq 7 $$: $$ f(x) = -5x + 25 $$
   - Esta es una función lineal decreciente.

La gráfica se puede trazar considerando estos segmentos y sus respectivos intervalos.
El dominio de la función $$ f $$ está dado por la unión de los intervalos donde está definida:

- Para $$ -10 \leq x < -3 $$
- Para $$ -3 \leq x < 3 $$
- Para $$ 4 \leq x \leq 7 $$

Por lo tanto, el dominio es: 
$$ D_f = [-10, -3) \cup [-3, 3) \cup [4, 7] $$

Para determinar el rango, evaluamos cada parte de la función:

1. Para $$ -10 \leq x < -3 $$: 
   - $$ f(x) = |x + 6| $$ toma valores desde $$ 3 $$ (en $$ x = -3 $$) hasta $$ 6 $$ (en $$ x = -10 $$).
   - Rango: $$ [3, 6) $$

2. Para $$ -3 \leq x < 3 $$: 
   - La parábola $$ f(x) = x^2 - 2x - 8 $$ tiene un vértice en $$ x = 1 $$ y $$ f(1) = -9 $$. 
   - Evaluando en los extremos: $$ f(-3) = -9 $$ y $$ f(3) = -9 $$.
   - Rango: $$ [-9, \infty) $$

3. Para $$ 4 \leq x \leq 7 $$: 
   - $$ f(x) = -5x + 25 $$ toma valores desde $$ 5 $$ (en $$ x = 4 $$) hasta $$ 10 $$ (en $$ x = 7 $$).
   - Rango: $$ [5, 10] $$

Uniendo todos los rangos, el rango total es:
$$ R_f = [-9, 6) \cup [5, 10] $$

El dominio $$ D_f $$ es un conjunto de intervalos disjuntos, mientras que el rango $$ R_f $$ también es un conjunto de intervalos disjuntos. Ambos son conjuntos no continuos, lo que significa que no cubren todos los números reales en sus respectivos intervalos.
Para determinar los intervalos donde $$ f $$ es decreciente, analizamos cada parte:

1. Para $$ -10 \leq x < -3 $$: $$ f(x) = |x + 6| $$ es creciente.
2. Para $$ -3 \leq x < 3 $$: La parábola es decreciente en $$ (-3, 1) $$ y creciente en $$ (1, 3) $$.
3. Para $$ 4 \leq x \leq 7 $$: $$ f(x) = -5x + 25 $$ es decreciente en todo este intervalo.

Por lo tanto, los intervalos donde $$ f $$ es decreciente son:
$$ (-3, 1) \cup [4, 7] $$

a) La gráfica de la función se compone de tres segmentos: una línea recta, una parábola y otra línea recta. b) Dominio: $$ D_f = [-10, -3) \cup [-3, 3) \cup [4, 7] $$ y Rango: $$ R_f = [-9, 6) \cup [5, 10] $$. c) El dominio y rango son conjuntos no continuos. d) Los intervalos donde $$ f $$ es decreciente son: $$ (-3, 1) \cup [4, 7] $$.

Dada la función definida por:
Determine: a) La gráfica de la función; b) Dominio y rango de fes Clasifiquela
RAZONADAMENTE y d) Intervalos del dominio donde f es decreciente.
(Valor 5 puntos)

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