1a Questão \( (0,6 \) ponto \( )- \) Em uma progressão aritmética \( \left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{n}, \ldots\right) \) sabe-se que \( a_{3}+a_{5}+a_{9}=31 \) e que \( a_{2}+a_{4}+a_{7}+a_{12}=53 \). Determine: b)(0,2) se o número 3982 pertence à progressão. Em caso afirmativo, indique sua posição na PA.

Para determinar se o número **3982** pertence à progressão aritmética (PA) dada e, em caso afirmativo, identificar sua posição, seguimos os seguintes passos: ### **Passo 1: Encontrar a Posição Geral da PA** A fórmula do termo geral de uma PA é dada por: \[ a_n = a_1 + (n-1) \cdot d \] onde: - \( a_n \) é o enésimo termo, - \( a_1 \) é o primeiro termo, - \( d \) é a razão da PA, - \( n \) é a posição do termo na PA. ### **Passo 2: Determinar \( a_1 \) e \( d \)** A partir das informações fornecidas: 1. **Equação 1:** \[ a_3 + a_5 + a_9 = 31 \] Substituindo os termos: \[ (a_1 + 2d) + (a_1 + 4d) + (a_1 + 8d) = 31 \] \[ 3a_1 + 14d = 31 \quad \text{(Eq. 1)} \] 2. **Equação 2:** \[ a_2 + a_4 + a_7 + a_{12} = 53 \] Substituindo os termos: \[ (a_1 + d) + (a_1 + 3d) + (a_1 + 6d) + (a_1 + 11d) = 53 \] \[ 4a_1 + 21d = 53 \quad \text{(Eq. 2)} \] Resolvendo o sistema de equações: - Multiplicamos a Eq. 1 por 4: \[ 12a_1 + 56d = 124 \] - Multiplicamos a Eq. 2 por 3: \[ 12a_1 + 63d = 159 \] Subtraindo as duas equações: \[ (12a_1 + 63d) - (12a_1 + 56d) = 159 - 124 \] \[ 7d = 35 \] \[ d = 5 \] Substituindo \( d = 5 \) na Eq. 1: \[ 3a_1 + 14 \cdot 5 = 31 \] \[ 3a_1 + 70 = 31 \] \[ 3a_1 = -39 \] \[ a_1 = -13 \] Portanto, a expressão do termo geral da PA é: \[ a_n = -13 + (n-1) \cdot 5 \] \[ a_n = 5n - 18 \] ### **Passo 3: Verificar se 3982 Pertence à PA** Queremos verificar se existe um \( n \) tal que: \[ 5n - 18 = 3982 \] Resolvendo para \( n \): \[ 5n = 3982 + 18 \] \[ 5n = 4000 \] \[ n = \frac{4000}{5} \] \[ n = 800 \] ### **Conclusão** Sim, o número **3982** pertence à progressão aritmética fornecida e ocupa a **800ª posição** na PA. **Resposta Final:** Sim, o número 3982 está na PA e é o 800º termo da progressão.