ada la función $$ f(x)=x^{3}+3 x^{2}-4 $$, calcula la pendiente e la tangente a la gráfica de la función $$ f $$ en el punto e abscisa $$ x=-1 $$.

Question

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Para calcular la pendiente de la tangente a la gráfica de la función $$ f(x) = x^{3} + 3x^{2} - 4 $$ en el punto cuya abscisa es $$ x = -1 $$, seguiremos los siguientes pasos:

### 1. Calcular la derivada de $$ f(x) $$:
La derivada de $$ f(x) $$ nos da la pendiente de la tangente en cualquier punto $$ x $$.

$$
f(x) = x^{3} + 3x^{2} - 4
$$

$$
f'(x) = \frac{d}{dx}(x^{3}) + \frac{d}{dx}(3x^{2}) - \frac{d}{dx}(4) = 3x^{2} + 6x
$$

### 2. Evaluar la derivada en $$ x = -1 $$ para obtener la pendiente:
$$
f'(-1) = 3(-1)^{2} + 6(-1) = 3(1) - 6 = 3 - 6 = -3
$$

Por lo tanto, la **pendiente** de la tangente en $$ x = -1 $$ es **-3**.

### 3. Determinar el punto de tangencia:
Para encontrar las coordenadas del punto de tangencia, evaluamos $$ f(-1) $$:

$$
f(-1) = (-1)^{3} + 3(-1)^{2} - 4 = -1 + 3 - 4 = -2
$$

Así, el punto de tangencia es $$ (-1, -2) $$.

### 4. Escribir la ecuación de la tangente:
La ecuación de la recta tangente en el punto $$ (x_0, y_0) $$ con pendiente $$ m $$ está dada por:

$$
y - y_0 = m(x - x_0)
$$

Sustituyendo los valores encontrados:

$$
y - (-2) = -3(x - (-1)) \
y + 2 = -3(x + 1) \
y = -3x - 3 - 2 \
y = -3x - 5
$$

### **Respuesta Final:**
- **Pendiente de la tangente:** $$-3$$
- **Ecuación de la tangente:** $$ y = -3x - 5 $$
La pendiente de la tangente a la función $$ f(x) = x^{3} + 3x^{2} - 4 $$ en el punto $$ x = -1 $$ es **-3**. La ecuación de la tangente en ese punto es $$ y = -3x - 5 $$.

ada la función \( f(x)=x^{3}+3 x^{2}-4 \), calcula la pendiente e la tangente a la gráfica de la función \( f \) en el punto e abscisa \( x=-1 \).

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