I) Hallar una función \( f \) un numero \( a \) tal que \( \begin{array}{l}\text { b) } \int_{a}^{2 x} \frac{t^{2}}{(f(t))^{3}} d t=x^{2}-81\end{array} \)

¡Vamos a desentrañar esta integral! Para lograrlo, primero observemos que puede ser útil aplicar la derivación en ambos lados de la ecuación respecto a \( x \). Aplicando la regla de Leibniz para derivadas bajo el signo de integral, obtenemos: \[ \frac{d}{dx} \left( \int_{a}^{2x} \frac{t^2}{(f(t))^3} dt \right) = \frac{d}{dx}(x^2 - 81) \] Esto se traduce en: \[ \frac{d}{dx} \left( \int_{a}^{2x} \frac{t^2}{(f(t))^3} dt \right) = 2x \] Al aplicar la regla del cambio de variable, obtenemos: \[ \frac{d}{dx} \left( \int_{a}^{2x} \frac{t^2}{(f(t))^3} dt \right) = \frac{(2x)^2}{(f(2x))^3} \cdot 2 = \frac{4x^2}{(f(2x))^3} \] Igualando ambas partes: \[ \frac{4x^2}{(f(2x))^3} = 2x \implies \frac{4x^2}{(f(2x))^3} = 2x \] Despejando: \[ \frac{4x}{(f(2x))^3} = 2 \implies (f(2x))^3 = 2x \implies f(2x) = (2x)^{1/3} \] Finalmente, al cambiar la variable de vuelta, notamos que esto nos da una forma funcional específica de \( f(t) \) en relación a \( t \). Así que ahora podemos establecer que: \[ f(t) = \left(\frac{t}{2}\right)^{2/3} \] ¡Y ahí lo tienes! La función \( f \) es \( \left(\frac{t}{2}\right)^{2/3} \).