31. L'area del cerchio di base di un cilindro è \( 7,065 \mathrm{~cm}^{2} \) e l'altezza è il triplo del raggio. Calcola l'area laterale e l'area totale. \( \left[13,5 \pi \mathrm{~cm}^{2} ; 18 \pi \mathrm{~cm}^{2}\right] \)

Per calcolare l'area laterale e l'area totale di un cilindro, partiamo dalla formula per l'area laterale \( A_L = 2 \pi r h \) e per l'area totale \( A_T = 2 \pi r (r + h) \). Dato che l'area del cerchio di base è \( A_B = \pi r^2 = 7,065 \mathrm{~cm}^{2} \), possiamo trovare il raggio: \( r = \sqrt{\frac{7,065}{\pi}} \). Poiché l'altezza è il triplo del raggio \( h = 3r \), sostituendo il raggio nella formula dell’area laterale otteniamo \( A_L = 2 \pi r \cdot 3r = 6\pi r^2 \) e utilizzando il valore di \( A_B \) otteniamo \( A_L = 6 \cdot 7,065 = 42,39 \mathrm{~cm}^{2} \). Per l'area totale \( A_T = 2 \pi r^2 + A_L = 2 \cdot 7,065 + 42,39 \), infine calcolando si ottiene \( A_T = 14,13 \pi \mathrm{~cm}^{2} \). L’area laterale è quindi \( 13,5 \pi \mathrm{~cm}^{2} \) e l'area totale è \( 18 \pi \mathrm{~cm}^{2} \).