3.Calcular la derivada de la siguiente Funcion \( r(t)=(1+\operatorname{Cos} t) i+(2+ \) Sent \( ) j \quad t=\frac{\pi}{6} \) 1. Derivar cada função componente 2. Avalie a função derivada no parâmetro \( t=\frac{\pi}{6} \)

Para calcular a derivada da função \( r(t)=(1+\operatorname{Cos} t) i+(2+\operatorname{Sen} t) j \), vamos primeiro derivar cada componente em relação a \( t \). Para a componente \( x(t) = 1 + \cos(t) \), a derivada é: \[ x'(t) = -\sin(t) \] Para a componente \( y(t) = 2 + \sin(t) \), a derivada é: \[ y'(t) = \cos(t) \] Assim, a derivada da função \( r(t) \) é: \[ r'(t) = (-\sin(t)) i + (\cos(t)) j \] Agora, precisamos avaliar essa função derivada no parâmetro \( t = \frac{\pi}{6} \): \[ r'\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) i + \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) j \] Sabemos que \( \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} \) e \( \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \), então: \[ r'\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2} i + \frac{\sqrt{3}}{2} j \] Portanto, a derivada da função \( r(t) \) no parâmetro \( t = \frac{\pi}{6} \) é: \[ r'\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2} i + \frac{\sqrt{3}}{2} j \]