9. $$ g(x)=x^{2}+2 x-1 ; $$ considere que $$ G(1)=7 $$

Question

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Parece que o problema envolve a função $$ g(x) = x^{2} + 2x - 1 $$ e a condição $$ G(1) = 7 $$. Vamos supor que $$ G(x) $$ seja uma primitiva (antiderivada) de $$ g(x) $$. Vamos encontrar $$ G(x) $$.

### Passo 1: Encontrar a primitiva de $$ g(x) $$
A primitiva $$ G(x) $$ de $$ g(x) $$ é obtida integrando $$ g(x) $$:

$$
G(x) = \int g(x) \, dx = \int (x^{2} + 2x - 1) \, dx
$$

Integrando termo a termo:

$$
G(x) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} - x + C
$$

onde $$ C $$ é a constante de integração.

### Passo 2: Determinar a constante $$ C $$ usando a condição $$ G(1) = 7 $$

Substituímos $$ x = 1 $$ em $$ G(x) $$:

$$
G(1) = \frac{1^{3}}{3} + 1^{2} - 1 + C = \frac{1}{3} + 1 - 1 + C = \frac{1}{3} + C
$$

Sabemos que $$ G(1) = 7 $$:

$$
\frac{1}{3} + C = 7 \
C = 7 - \frac{1}{3} = \frac{21}{3} - \frac{1}{3} = \frac{20}{3}
$$

### Passo 3: Escrever a primitiva completa

Substituindo $$ C $$ na expressão de $$ G(x) $$:

$$
G(x) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} - x + \frac{20}{3}
$$

### Resposta Final

A primitiva de $$ g(x) $$ que satisfaz $$ G(1) = 7 $$ é:

$$
G(x) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} - x + \frac{20}{3}
$$
The primitve of $$ g(x) = x^{2} + 2x - 1 $$ that satisfies $$ G(1) = 7 $$ is: $$ G(x) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} - x + \frac{20}{3} $$

9. \( g(x)=x^{2}+2 x-1 ; \) considere que \( G(1)=7 \)

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