Comprosar las mahrices: $$ A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \ 3 & 0\end{array} ight) $$ y $$ B=\left(\begin{array}{cc}2 & -1 \ 1 & 3\end{array} ight) $$ que: a) $$ (A+B)^{2}=A^{2}+2 A B+B^{2} $$ b) $$ (A-B)^{2}=A^{2}-2 A B+B^{2} $$ c) $$ (A+B)(A-B)=A^{2}-B^{2} $$

Question

Comprosar las mahrices: $$ A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \ 3 & 0\end{array}ight) $$ y $$ B=\left(\begin{array}{cc}2 & -1 \ 1 & 3\end{array}ight) $$ que: a) $$ (A+B)^{2}=A^{2}+2 A B+B^{2} $$ b) $$ (A-B)^{2}=A^{2}-2 A B+B^{2} $$ c) $$ (A+B)(A-B)=A^{2}-B^{2} $$

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Claro, vamos a comprobar las propiedades dadas para las matrices $$ A $$ y $$ B $$.

Dadas las matrices:
$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \ 1 & 3 \end{pmatrix} $$

### a) Verificar que $$ (A+B)^{2} = A^{2} + 2AB + B^{2} $$

Primero, calculemos $$ A + B $$:
$$ A + B = \begin{pmatrix} 1+2 & 2+(-1) \ 3+1 & 0+3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \ 4 & 3 \end{pmatrix} $$

Ahora, calculamos $$ (A+B)^2 $$:
$$ (A+B)^2 = (A+B)(A+B) = \begin{pmatrix} 3 & 1 \ 4 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 1 \ 4 & 3 \end{pmatrix} $$
$$ = \begin{pmatrix}
3 \cdot 3 + 1 \cdot 4 & 3 \cdot 1 + 1 \cdot 3 \
4 \cdot 3 + 3 \cdot 4 & 4 \cdot 1 + 3 \cdot 3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13 & 6 \ 24 & 13 \end{pmatrix} $$

Ahora, calculemos $$ A^2 + 2AB + B^2 $$:

1. **Calculamos $$ A^2 $$:**
$$ A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 0 \end{pmatrix} $$
$$ = \begin{pmatrix}
1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 & 1 \cdot 2 + 2 \cdot 0 \
3 \cdot 1 + 0 \cdot 3 & 3 \cdot 2 + 0 \cdot 0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 2 \ 3 & 6 \end{pmatrix} $$

2. **Calculamos $$ AB $$:**
$$ AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 \ 1 & 3 \end{pmatrix} $$
$$ = \begin{pmatrix}
1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 & 1 \cdot (-1) + 2 \cdot 3 \
3 \cdot 2 + 0 \cdot 1 & 3 \cdot (-1) + 0 \cdot 3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 5 \ 6 & -3 \end{pmatrix} $$

3. **Calculamos $$ B^2 $$:**
$$ B^2 = B \cdot B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \ 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 \ 1 & 3 \end{pmatrix} $$
$$ = \begin{pmatrix}
2 \cdot 2 + (-1) \cdot 1 & 2 \cdot (-1) + (-1) \cdot 3 \
1 \cdot 2 + 3 \cdot 1 & 1 \cdot (-1) + 3 \cdot 3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -5 \ 5 & 8 \end{pmatrix} $$

4. **Ahora sumamos $$ A^2 + 2AB + B^2 $$:**
$$ 2AB = 2 \cdot \begin{pmatrix} 4 & 5 \ 6 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 10 \ 12 & -6 \end{pmatrix} $$
$$ A^2 + 2AB + B^2 = \begin{pmatrix} 7 & 2 \ 3 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 8 & 10 \ 12 & -6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & -5 \ 5 & 8 \end{pmatrix} $$
$$ = \begin{pmatrix} 7+8+3 & 2+10-5 \ 3+12+5 & 6-6+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 18 & 7 \ 20 & 8 \end{pmatrix} $$

Comparando:
$$ (A+B)^2 = \begin{pmatrix} 13 & 6 \ 24 & 13 \end{pmatrix}, \quad A^2 + 2AB + B^2 = \begin{pmatrix} 18 & 7 \ 20 & 8 \end{pmatrix} $$
**No son iguales**, por lo tanto, la igualdad $$ (A+B)^{2} = A^{2} + 2AB + B^{2} $$ **no se cumple**.

### b) Verificar que $$ (A-B)^{2} = A^{2} - 2AB + B^{2} $$

Primero, calculemos $$ A - B $$:
$$ A - B = \begin{pmatrix} 1-2 & 2-(-1) \ 3-1 & 0-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 3 \ 2 & -3 \end{pmatrix} $$

Ahora, calculamos $$ (A-B)^2 $$:
$$ (A-B)^2 = (A-B)(A-B) = \begin{pmatrix} -1 & 3 \ 2 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 3 \ 2 & -3 \end{pmatrix} $$
$$ = \begin{pmatrix}
(-1)(-1) + 3 \cdot 2 & (-1) \cdot 3 + 3 \cdot (-3) \
2 \cdot (-1) + (-3) \cdot 2 & 2 \cdot 3 + (-3)(-3)
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & -12 \ -8 & 15 \end{pmatrix} $$

Ahora, calculemos $$ A^2 - 2AB + B^2 $$ utilizando los valores previamente calculados:
$$ A^2 - 2AB + B^2 = \begin{pmatrix} 7 & 2 \ 3 & 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 8 & 10 \ 12 & -6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & -5 \ 5 & 8 \end{pmatrix} $$
$$ = \begin{pmatrix} 7-8+3 & 2-10-5 \ 3-12+5 & 6+6+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -13 \ -4 & 20 \end{pmatrix} $$

Comparando:
$$ (A-B)^2 = \begin{pmatrix} 7 & -12 \ -8 & 15 \end{pmatrix}, \quad A^2 - 2AB + B^2 = \begin{pmatrix} 2 & -13 \ -4 & 20 \end{pmatrix} $$
**No son iguales**, por lo tanto, la igualdad $$ (A-B)^{2} = A^{2} - 2AB + B^{2} $$ **no se cumple**.

### c) Verificar que $$ (A+B)(A-B) = A^{2} - B^{2} $$

Ya tenemos $$ A + B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \ 4 & 3 \end{pmatrix} $$ y $$ A - B = \begin{pmatrix} -1 & 3 \ 2 & -3 \end{pmatrix} $$.

Calculamos $$ (A+B)(A-B) $$:
$$ (A+B)(A-B) = \begin{pmatrix} 3 & 1 \ 4 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 3 \ 2 & -3 \end{pmatrix} $$
$$ = \begin{pmatrix}
3 \cdot (-1) + 1 \cdot 2 & 3 \cdot 3 + 1 \cdot (-3) \
4 \cdot (-1) + 3 \cdot 2 & 4 \cdot 3 + 3 \cdot (-3)
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 6 \ 2 & 3 \end{pmatrix} $$

Ahora, calculemos $$ A^2 - B^2 $$ utilizando los valores previamente obtenidos:
$$ A^2 - B^2 = \begin{pmatrix} 7 & 2 \ 3 & 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & -5 \ 5 & 8 \end{pmatrix} $$
$$ = \begin{pmatrix} 7-3 & 2-(-5) \ 3-5 & 6-8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 7 \ -2 & -2 \end{pmatrix} $$

Comparando:
$$ (A+B)(A-B) = \begin{pmatrix} -1 & 6 \ 2 & 3 \end{pmatrix}, \quad A^2 - B^2 = \begin{pmatrix} 4 & 7 \ -2 & -2 \end{pmatrix} $$
**No son iguales**, por lo tanto, la igualdad $$ (A+B)(A-B) = A^{2} - B^{2} $$ **no se cumple**.

### Conclusión

Para las matrices $$ A $$ y $$ B $$ dadas, ninguna de las propiedades a), b) ni c) se cumple. Esto se debe a que, a diferencia de los números reales, la multiplicación de matrices no es conmutativa en general, lo que afecta la validez de tales identidades.
Para las matrices $$ A $$ y $$ B $$ dadas, ninguna de las propiedades $$ (A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 $$, $$ (A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2 $$ ni $$ (A+B)(A-B) = A^2 - B^2 $$ se cumple. Esto se debe a que la multiplicación de matrices no es conmutativa en general, lo que hace que estas identidades no sean válidas para matrices en general.

Comprosar las mahrices: \( A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 0\end{array}\right) \) y \( B=\left(\begin{array}{cc}2 & -1 \\ 1 & 3\end{array}\right) \) que: a) \( (A+B)^{2}=A^{2}+2 A B+B^{2} \) b) \( (A-B)^{2}=A^{2}-2 A B+B^{2} \) c) \( (A+B)(A-B)=A^{2}-B^{2} \)

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